[論文レビュー] On the Geometry of Stabilizer States

Héctor J. García, Igor L. Markov+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子情報における安定化子状態の幾何的構造を特徴づけ、任意のnキュービット安定化子状態に対して、他の大多数の安定化子状態がほぼ直交していることを示している。内積の計算、安定化子状態の直交化、および標準安定化子回路の合成を効率的に行うためのアルゴリズムを提案し、従来手法と比較して最大で2倍の速度と半分のゲート数を達成している。主な貢献は、安定化子状態間の角度分布および最近隣関係の深い理解であり、状態の近似や量子回路シミュレーションに応用される。

ABSTRACT

Large-scale quantum computation is likely to require massive quantum error correction (QEC). QEC codes and circuits are described via the stabilizer formalism, which represents stabilizer states by keeping track of the operators that preserve them. Such states are obtained by stabilizer circuits (consisting of CNOT, Hadamard and Phase gates) and can be represented compactly on conventional computers using $O(n^2)$ bits, where $n$ is the number of qubits. As an additional application, the work by Aaronson and Gottesman suggests the use of superpositions of stabilizer states to represent arbitrary quantum states. To aid in such applications and improve our understanding of stabilizer states, we characterize and count nearest-neighbor stabilizer states, quantify the distribution of angles between pairs of stabilizer states, study succinct stabilizer superpositions and stabilizer bivectors, explore the approximation of non-stabilizer states by single stabilizer states and short linear combinations of stabilizer states, develop an improved inner-product computation for stabilizer states via synthesis of compact canonical stabilizer circuits, propose an orthogonalization procedure for stabilizer states, and evaluate several of these algorithms empirically.

研究の動機と目的

• 安定化子状態がヒルベルト空間内でどのように幾何的に分布しているかを理解すること、特にそれらの間の角度および最近隣関係について。
• 安定化子状態の内積、外積（バイベクトル）、および集合の直交化を効率的に行う古典的アルゴリズムを開発すること。
• 非安定化子状態のコンact表現を、安定化子状態の重ね合わせによって可能にし、量子状態の複雑さの階層を前進させること。
• 最小で標準的な回路を合成することにより、安定化子回路シミュレーションのスケーラビリティと効率性を向上させること。
• 任意の量子状態を安定化子状態およびその線形結合でどの程度近似できるかの限界を調査すること。

提案手法

• nキュービット安定化子状態をパウリ演算子を用いて表現し、Θ(n²)ビットの表現を可能にする安定化子形式を用いる。
• 任意の安定化子状態を計算基底状態に写像できる5ブロックの標準テンプレートを適用し、安定化子回路を合成することで、内積計算を効率的に行う。
• 任意の3つの非平行な安定化子状態が線形従属となる三つ組には、2組の最近隣ペアと1組の直交ペアが含まれることに着目し、体系的な直交化手順を採用する。
• O(n³)時間で実行されるが、実際には2次関数的性能を示す改善された内積アルゴリズムを開発し、速度とゲート数の両面で従来手法を上回る。
• 安定化子状態間の角度分布を定量的に評価し、n→∞のとき、ほとんどのペアが直交またはほぼ直交していることを示している。
• 安定化子ベクトルが形成する平行多面体の体積を分析し、安定化子状態の最小線形従属集合を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 nキュービット安定化子状態のペア間の角度分布はどのようなものか。また、最近隣関係がこの分布にどのように影響を与えるか。
• RQ2 特に直交ペアおよび最近隣ペアの存在を踏まえて、安定化子状態の集合を幾何的構造を用いて効率的に直交化できるか。
• RQ3 回路の深さとゲート数の観点から、従来手法よりも内積をより効率的に計算する方法は何か。
• RQ4 単位球面上の中心をとった球が、任意のnキュービット安定化子状態を含まない最大半径は何か。この値はnとともにどのように変化するか。
• RQ5 任意の量子状態は、多項式サイズの安定化子状態の重ね合わせによってどの程度近似可能か。

主な発見

• 任意のnキュービット安定化子状態に対して、そのウェッジ積が安定化子バイベクトルを形成する他の安定化子状態が少なくとも5(2ⁿ−1)個存在し、豊富な代数的構造を示している。
• 任意の2つの最近隣安定化子状態間の角度は正確に45°であり、距離は√(2−√2)である。これは論文の幾何的図表で示されている。
• n→∞のとき、与えられた安定化子状態に対して直交またはほぼ直交する安定化子状態の割合は1に近づき、ほぼ一様な角度分布であることが示された。
• 提案された内積アルゴリズムは、Audenaert-Plenio法と比較して約2倍の速度で実行され、ゲート数も半分未満に抑えられつつ、標準形を保証している。
• 単位球面上の中心をとった球が任意のnキュービット安定化子状態を含まない最大半径は√2で抑えられ、nが増加するにつれてこの値に近づく。
• 非平行な安定化子状態の線形従属な三つ組は、正確に2組の最近隣ペアと1組の直交ペアを含み、一様な幾何的制約が明らかになった。