[論文レビュー] On the geometry of the compactification of the universal Picard variety

Claudio Fontanari|ArXiv.org|Feb 18, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Caporasoによって幾何的不変理論を用いて構成された、コンパクト化された普遍ピカード多様体 $\overline{P}_{d,g}$ の幾何構造を調査する。Cornalbaのスピン曲線のモジュライ空間 $\overline{S}_g$ から $\overline{P}_{d,g}$ への自然な単射的準同型写像を確立し、$\overline{P}_{d,g}$ の有理 divisor 群を完全に記述する。その結果、同群は、自己同型線束 $\mathcal{L}_{d,g}$、Hodge類 $\lambda$ の引き戻し $\phi_d^*(\lambda)$、境界 divisor $\mathcal{D}_i$ によって生成され、特定の条件下では非自明な関係が存在しないことが示された。

ABSTRACT

Here we focus on the geometry of $\pdgbar$, the compactification of the universal Picard variety constructed by L. Caporaso. In particular, we show that the moduli space of spin curves constructed by M. Cornalba naturally injects into $\pdgbar$ and we give generators and relations of the rational divisor class group of $\pdgbar$, extending previous work by A. Kouvidakis.

研究の動機と目的

• Caporasoによって幾何的不変理論を用いて構成されたコンパクト化された普遍ピカード多様体 $\overline{P}_{d,g}$ の幾何的構造を研究すること。
• $\overline{P}_{d,g}$ とスピン曲線のモジュライ空間 $\overline{S}_g$ の関係を調査し、特に $\overline{S}_g$ が $\overline{P}_{d,g}$ に自然に埋め込まれるかを検討すること。
• Kouvidakisによる非コンパクト化された $P_{d,g}$ のピカード群の研究を拡張し、$\overline{P}_{d,g}$ の有理 divisor 群を計算すること。
• 有理ピカード群が明示的なクラスによって自由に生成される条件を特定すること。

提案手法

• 論文は、$\overline{P}_{d,g}$ の幾何的不変理論による構成を活用し、その境界成分とその余次元を分析する。
• 各スピン曲線に対して、準安定曲線上の次数 $d$ の線束を対応付けることで、$\overline{S}_g$ から $\overline{P}_{d,g}$ への自然な準同型写像を構成する。
• Kouvidakisが確立した $P_{d,g}$ の既知のピカード群を用い、$\overline{P}_{d,g}$ の有理 divisor 群の生成子を導出する。
• ArbarelloとCornalbaの曲線族を用いた持ち上げ補題を適用し、divisor 群に非自明な関係が存在しないことを示す。
• $\overline{P}_{d,g}$ が幾何的商であり、$(d-g+1,2g-2)=1$ の下で有限商特異点を持つことを利用し、Weil divisor とCartier divisor を関連付ける。
• 有理チャウ群上の引き戻し写像 $\phi_d^*$ の単射性を証明することで、生成子の線形独立性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン曲線のモジュライ空間 $\overline{S}_g$ は、コンパクト化された普遍ピカード多様体 $\overline{P}_{d,g}$ に自然に埋め込まれるか？
• RQ2 $\overline{P}_{d,g}$ の有理 divisor 群の生成子は何か？ それらの間にどのような関係があるか？
• RQ3 有理ピカード群が明示的なクラスによって自由に生成される条件は何か？
• RQ4 $\overline{P}_{d,g}$ の有理 divisor 群は、$\overline{\mathcal{M}}_g$ 上の自己同型クラスとどのように関係するか？

主な発見

• スピン曲線のモジュライ空間 $\overline{S}_g$ からコンパクト化された普遍ピカード多様体 $\overline{P}_{d,g}$ への自然な単射的準同型写像が存在し、両多様体間の明確な幾何的関係を確立する。
• $\overline{P}_{d,g}$ の有理 divisor 群は、自己同型線束 $\mathcal{L}_{d,g}$、Hodge類 $\lambda$ の引き戻し $\phi_d^*(\lambda)$、および境界 divisor $\mathcal{D}_i$（$i=0,\ldots,\lfloor g/2\rfloor$）によって生成される。
• $g \geq 4$ のとき、有理 divisor 群はこれらのクラスによって生成され、関係は自明である。つまり、それらの間に非自明な線形関係は存在しない。
• $g=3$ のとき、$\mathcal{M}_3$ 内の双曲的曲線の局所 $H$ に対して $[H] = 18\lambda$ が成り立つため、$[\phi_d^{-1}(H)] = 18\phi_d^*(\lambda)$ となり、生成子の集合と整合的である。
• $(d-g+1,2g-2)=1$ かつ $d \geq 20(g-1)$ のとき、写像 $\phi_d^*:\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_g) \otimes \mathbb{Q} \to \mathrm{Pic}(\overline{P}_{d,g}) \otimes \mathbb{Q}$ は単射であり、生成子が線形独立であることが保証される。
• $(d-g+1,2g-2)=1$ の下で、$\overline{P}_{d,g}$ の有理ピカード群は、$\mathcal{L}_{d,g}$、$\phi_d^*(\lambda)$、および $\mathcal{D}_i$ のクラスによって自由に生成される。