[論文レビュー] On the geometry of the connection with totally skew-symmetric torsion on almost complex manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ノーデン計量を備えたほぼ複素多様体における完全に歪対称なねじれを有する一意的な線形接続を調査し、非ケーラー多様体上でのその存在および一意性が準ケーラー構造を示すことを証明している。主な貢献は、このような接続が存在するための必要十分条件が多様体が準ケーラー的であることであることを確立し、接続および曲率テンソルの明示的公式を導出し、平行なねじれとケーラー的曲率が、等方的ケーラー構造を意味することを示している。

ABSTRACT

We consider an almost complex manifold with Norden metric (i. e. a metric with respect to which the almost complex structure is an anti-isometry). On such a manifold we study a linear connection preserving the almost complex structure and the metric and having a totally skew symmetric torsion tensor (i. e. a 3-form). We prove that if a non-Kaehler almost complex manifold with Norden metric admits such connection then the manifold is quasi-Kaehlerian (i. e. has non-integrable almost complex structure). We prove that this connection is unique, determine its form, and construct an example of it on a Lie group. We consider the case when the manifold admits a connection with parallel totally skew-symmetric torsion and the case when such connection has a Kaehler curvature tensor. We get necessary and sufficient conditions for an isotropic Kaehler manifold with Norden metric.

研究の動機と目的

• ほぼ複素多様体にノーデン計量を備えた線形接続が完全に歪対称なねじれを有するかどうかを確立すること。
• 特に非ケーラー設定下で、そのような接続が存在するための幾何的条件を特徴づけること。
• 接続の形およびその曲率テンソルの形を特定すること、特にねじれが平行または曲率がケーラー的である場合に注目すること。
• スカラー曲率および曲率テンソルを用いて、多様体が等方的ケーラー的であるための必要十分条件を同定すること。

提案手法

• ほぼ複素構造 J とノーデン計量 g を保存する線形接続 ∇′ を構成し、ねじれテンソル T が 3-形式（完全に歪対称）であることを保証する。
• 変換テンソル Q を用いて ∇′ の明示的形を導出し、Levi-Civita 接続 ∇ および ∇J を通じて Nijenhuis テンソルと関連付ける。
• 曲率性質を分析するため、曲率公式 R′(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + 2g(Q(x,y),Q(z,w)) − g(Q(x,z),Q(y,w)) + g(Q(y,z),Q(x,w)) を用いる。
• 最初のビアンキ恒等式を適用し、R′ がケーラー的テンソルであるための条件を導出し、∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0 という条件に至る。
• ||∇J||² の二乗ノルムを用いて等方的ケーラー多様体を定義し、∇ と ∇′ のスカラー曲率の関係を関連付ける。
• リー群上に 4 パrameter の 4 次元の準ケーラー多様体の族を構成し、接続の具体例を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ケーラー的ほぼ複素多様体にノーデン計量を備えた、J と g を保存する完全に歪対称なねじれを有する線形接続が存在するための条件は何か？
• RQ2 そのような接続の明示的形は何か？ また、それは一意的か？
• RQ3 この接続のねじれが常に平行であるのはいつか？ そして、これによりどのような幾何的制約が生じるか？
• RQ4 この接続の曲率テンソルがケーラー的であるのはいつか？ そして、これにより多様体の性質にどのような意味が生じるか？
• RQ5 Levi-Civita 接続と新しい接続のスカラー曲率の関係は何か？ そして、これらが等しくなるのはいつか？

主な発見

• 非ケーラー的ほぼ複素多様体にノーデン計量を備えた線形接続が完全に歪対称なねじれを有するのは、その多様体が準ケーラー的であるとき、かつそのときに限る。
• 接続 ∇′ は一意的であり、Levi-Civita 接続およびテンソル ∇J を用いて明示的に導出されている。
• 接続 ∇′ がケーラー的曲率テンソルを有するのは、循環和 ∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0 が成り立つとき、かつそのときに限る。
• ∇′ が平行なねじれとケーラー的曲率テンソルの両方を有するならば、多様体は等方的ケーラー的である、すなわち ||∇J||² = 0 である。
• ∇ と ∇′ のスカラー曲率が等しいのは、多様体が等方的ケーラー的であるとき、かつそのときに限る。
• リー群上に 4 パrameter の 4 次元の準ケーラー多様体の族が構成され、この族に対して ∇′ が明示的に計算されている。