[論文レビュー] On the Gromov width of homogeneous Kaehler manifolds

Andrea Loi, Fabio Zuddas|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、第二ベッチ数が1であるコンパクトな同調的ケーラー多様体のグロモフ幅を計算し、その値が、H₂(M, ℤ) の生成子のシンプレクティック面積が π になるようにケーラー形式を正規化した場合に π に等しいことを証明している。この結果は、プロジェクト変種におけるカーヴェの研究による下界と、コルダイラ写像による複素射影空間へのケーラー埋め込みを組み合わせ、スケーリングにおけるグロモフ幅の等長性とシンプレクティック剛性を用いて得られる。

ABSTRACT

We compute the Gromov width of homogeneous Kaehler manifolds with second Betti number equal to one. Our result is based on the recent preprint [4] and on the upper bound of the Gromov width for such manifolds obtained in [6].

研究の動機と目的

• 第二ベッチ数が1であるコンパクトな同調的ケーラー多様体のグロモフ幅の正確な値を特定すること。
• 最近のプロジェクト変種におけるフビニ–シュテュルム形式に関する結果を用いて、グロモフ幅の鋭い下界を確立すること。
• 多様体の同調的かつ単連結構造を活用して、複素射影空間へのシンプレクティック埋め込みを構成すること。
• H₂(M, ℤ) の生成子 A に対して ω(A) = π である正規化条件下で、グロモフ幅が正確に π に等しいことを証明すること。

提案手法

• シンプレクティック構造への適用を可能にするために、正規化ケーラー形式 ω̂ = ω/π を用い、カーヴェのプロジェクト変種におけるグロモフ幅の下界を応用する。
• そのリッチ形式が正規化ケーラー形式 ω̂ に等しいような、M 上の正則ヘルミート線束 (L, h) を構成する。
• L の正則全ベクトル場 H⁰(L) の正規直交基底を用いて、L²内積を備えた、k: M → ℂℙ^N としてのコルダイラ写像を定義する。
• コルダイラ写像がケーラー埋め込みであることを示し、k*ω_FS = ω̂ が成り立ち、かつ単射であることから、(M, ω̂) が k(M) ⊂ ℂℙ^N とシンプレクティック同型であることを導く。
• カーヴェの定理Aを適用して c_G(k(M), ω_FS) ≥ 1 を得られ、グロモフ幅のスケーリングにおける等長性を用いて c_G(M, ω) ≥ π を導出する。
• この下界を [6] で知られている上界 c_G(M, ω) ≤ π と組み合わせることで、等号 c_G(M, ω) = π を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二ベッチ数が1であるコンパクトな同調的ケーラー多様体のグロモフ幅の正確な値は何か？
• RQ2 H₂(M, ℤ) の生成子に対してシンプレクティック面積を π に正規化したケーラー形式のもとで、グロモフ幅を正確に計算できるか？
• RQ3 このような多様体のコルダイラ埋め込みが、スケーリングに応じてグロモフ幅を保存するシンプレクティック埋め込みをもたらすか？
• RQ4 プロジェクト変種におけるグロモフ幅の下界が、それらのプロジェクト埋め込みを通じて同調的ケーラー多様体に適用可能か？
• RQ5 第二ベッチ数に関する仮定を緩和し、より一般の同調的ケーラー多様体を含めることが可能か？

主な発見

• 第二ベッチ数 b₂(M) = 1 で、H₂(M, ℤ) の生成子 A ∈ H₂(M, ℤ) に対して ω(A) = π を満たす正規化ケーラー形式を持つ任意のコンパクトな同調的ケーラー多様体のグロモフ幅は、正確に π に等しい。
• 下界 c_G(M, ω) ≥ π は、コルダイラ埋め込みにより ℂℙ^N に埋め込まれ、(M, ω̂) が (ℂℙ^N, ω_FS) のシンプレクティック部分多様体として実現されることによって確立される。
• 多様体 M の同調的かつ単連結性のおかげで、コルダイラ写像がシンプレクティック埋め込み（k*ω_FS = ω̂）であることが示される。
• コルダイラ写像の単射性により、像 k(M) がシンプレクティック部分多様体であることが保証され、グロモフ幅のようなシンプレクティック不変量が保存される。
• この結果により、コンパクト型のヘルミート対称空間がすべてこのクラスに含まれることを確認できる。
• [6] で知られている上界 c_G(M, ω) ≤ π と下界が一致し、結果として正確な値 c_G(M, ω) = π が得られる。