[論文レビュー] Toric degenerations and Gromov width of smooth projective varieties

Kiumars Kaveh|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次元 $n$ の滑らかな複素射影的多様体 $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ が、整数的トーリックケーラー形式を備えた $(\mathbb{C}^*)^n$ にシンプレクティック同型である開部分集合 $U$ を持つことを確立し、Gromov幅が1以上であることを示すことにより、Biranの予想を証明する。さらに、任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\text{vol}(X \setminus U) < \epsilon$ となるようなこのような部分集合 $U$ を、有理型トーリック形式を用いて選べることを示す。

ABSTRACT

Let $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ be an $n$-dimensional smooth complex projective variety equipped with a Kahler structure given by a Fubini-Study Kahler form on $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$. We show that $X$ has an open subset $U$ (in the usual classical topology) which is symplectomorphic to the torus $(\mathbb{C}^*)^n$ equipped with an integral toric Kahler form induced by a monomial embedding in $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$. From this we conclude that the Gromov width of $X$ is at least one, proving Biran's conjecture for smooth projective varieties. Moreover, we show that given $\epsilon > 0$ there is an open subset $U$ in $X$ such that $vol(X - U) < \epsilon$ and $U$ is symplectomorphic to $(\mathbb{C}^*)^n$ equipped with a rational toric Kahler form.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的多様体のGromov幅に関するBiranの予想を証明すること。
• 多様体 $X$ に、トーリック多様体に類似した構造を持つシンプレクティック同型な開部分集合が存在することを確立すること。
• このような部分集合の補集合の体積を任意に小さくできることを示すこと。
• このような開部分集合上のシンプレクティック構造が、有理型トーリック形式から生じることを示すこと。

提案手法

• $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ 上のFubini-Studyケーラー形式を用いて、$X$ にケーラー構造を誘導すること。
• $(\mathbb{C}^*)^n$ に整数的トーリックケーラー形式を備えたシンプレクティック同型な開部分集合 $U \subset X$ を特定すること。
• モノミアル埋め込みを介して、シンプレクティズムを構成すること。
• 古典的位相を用いて、開集合 $U$ が稠密であり、シンプレクティックに適切に振る舞うことを保証すること。
• 体積推定を適用し、任意の $\epsilon > 0$ に対して $\text{vol}(X \setminus U) < \epsilon$ となることを示すこと。
• 有理型トーリックケーラー形式を活用して、整数の場合を超えたシンプレクティック構造の一般化を達成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかな射影的多様体 $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ は、整数的トーリックケーラー形式を備えた $(\mathbb{C}^*)^n$ にシンプレクティック同型である稠密な開部分集合をもつだろうか？
• RQ2 このような多様体のGromov幅は1以上で下から有界であろうか？
• RQ3 このようなシンプレクティック部分集合の補集合の体積を任意に小さくできるだろうか？
• RQ4 この開部分集合上のシンプレクティック構造は、有理型トーリックケーラー形式によって実現可能であろうか？

主な発見

• 任意の滑らかな射影的多様体 $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ のGromov幅は1以上であり、Biranの予想が確認された。
• $(\mathbb{C}^*)^n$ に整数的トーリックケーラー形式を備えたシンプレクティック同型な開部分集合 $U \subset X$ が存在する。
• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\text{vol}(X \setminus U) < \epsilon$ かつ $U$ が $(\mathbb{C}^*)^n$ に有理型トーリックケーラー形式を備えたシンプレクティック同型であるような開部分集合 $U \subset X$ が存在する。
• 開部分集合 $U$ 上のシンプレクティック構造は、$\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ へのモノミアル埋め込みから誘導され、稠密なトーラス上にトーリック形式を生じさせる。