[論文レビュー] On the ground state of a free massless (pseudo)scalar field in two dimensions

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|Dec 18, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、1+1次元の自由な質量ゼロ（擬）スカラー場の基底状態が、基準真空とBCS型波動関数による集団的ゼロモードを表すテンソル積であることを示している。このBCS波動関数は連続的シフト対称性（1.2）を破り、重心運動に対応する。その結果、スピン密度波状態が生成され、質量ゼロのチラル対称性が破れた相と整合的である。

ABSTRACT

We investigate the ground state of a free massless (pseudo)scalar field in 1+1-dimensional space-time. We argue that in the quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field without infrared divergences (Eur. Phys. J. C24, 653 (2002)) the ground state can be represented by a tensor product of wave functions of the fiducial vacuum and of the collective zero-mode, describing the motion of the ``center of mass'' of a free massless (pseudo)scalar field. We show that the bosonized version of the BCS wave function of the ground state of the massless Thirring model obtained in (Phys.Lett. B563, 231 (2003)) describes the ground state of the free massless (pseudo)scalar field.

研究の動機と目的

• 1+1次元の自由な質量ゼロ（擬）スカラー場の基底状態の構造を明確化すること。
• 1+1次元の量子場理論におけるコロンベアの定理と見かけの矛盾を解消すること。
• 質量ゼロのチラリング模型におけるBCS波動関数と、自由な質量ゼロ（擬）スカラー場の基底状態との関係を確立すること。
• 生成関数の赤外発散が集団的ゼロモードに起因することを示し、外部源に制約を課すことによってそれを除去できることを示すこと。
• BCS型波動関数が剛体回転モードを記述しており、これは場の重心運動に対応することを示すこと。

提案手法

• 基底状態を基準真空 |Ψ₀⟩ と集団的ゼロモードのBCS型波動関数のテンソル積として表現する。
• 場のシフト対称性（1.2）: ϑ(x) → ϑ(x) + α（α ∈ ℝ）を用い、ゼロモードを正準交換関係 [Q, ϑ] = i を満たす剛体回転子として定義する。
• 生成関数 Z[J] = ⟨Ψ₀|T[exp(i∫ϑJ)]|Ψ₀⟩ を用い、赤外発散を除去するため ∫d²x J(x) = ˜J(0) = 0 の制約を課す。
• BCS波動関数 |Ω(α)⟩ = exp(−iαQ(0))|Ψ₀⟩ が異なるαに対して直交しており、シフト対称性の下で |Ω(α′)⟩ = exp(−iα′Q)|Ω(α)⟩ と変換されることを示す。
• BCS波動関数を質量ゼロのチラリング模型のボソン化された基底状態と関連づけ、それがチャイラル対称性が破れた相を記述する役割を果たすことを確認する。
• Wightman公理とシュワーツクラス S₀(ℝ²) を用いて観測量を定義し、ゼロモードを物理的観測量から除外することで、コロンベアの定理と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wightman枠組みにおいて非自明な真空が存在しないにもかかわらず、1+1次元の自由な質量ゼロ（擬）スカラー場の基底状態をどのように一貫的に定義できるか？
• RQ2 質量ゼロのチラリング模型におけるBCS型波動関数は、自由な質量ゼロ（擬）スカラー場の物理的基底状態に対応するか？
• RQ3 生成関数 Z[J] の赤外発散はどのように生じるのか？物理的整合性を損なわずに除去可能か？
• RQ4 連続的シフト対称性（1.2）の自発的破れは、1+1次元においてコロンベアの定理と整合的か？
• RQ5 集団的ゼロモードの物理的解釈は何か？場の重心運動とどのように関係するか？

主な発見

• 自由な質量ゼロ（擬）スカラー場の基底状態は、基準真空 |Ψ₀⟩ と集団的ゼロモードを記述するBCS型波動関数 |Ω(α)⟩ のテンソル積である。
• BCS波動関数 |Ω(α)⟩ は連続的シフト対称性（1.2）を破り、非ゼロの自発的磁化 〈cos(βϑ_v)|Ψ₀⟩〉 = 1 を生じる。
• 生成関数 Z[J] は ˜J(0) ≠ 0 のとき赤外発散を示し、これは無限小の摂動に対して剛体回転子が無限大の角度をとることに対応する。
• この発散は ˜J(0) = 0 の制約によって除去され、S₀(ℝ²) の試験関数上でWightmanの意味で理論が適切に定義される。
• BCS波動関数はシフト対称性（1.2）に関して不変ではなく、対称性の自発的破れと、質量ゼロのチラリング模型におけるチャイラル対称性が破れた相の存在を確認する。
• 場のシフトによる変化 δϑ(x) = α は非ゼロ（δϑ(x) = α）であり、これはコロンベアの定理に反しない。なぜなら観測量は S(ℝ²) ではなく S₀(ℝ²) 上で定義されるからである。