[論文レビュー] On the Group and Color Isomorphism Problems.

François Le Gall, David J. Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、交代群の合成因子を除いた制限付き色付き同型問題と群同型問題の間のきつい関係を確立する。群同型問題が n^(O(log log n)) 時間でこの色付き同型問題に還元されることを示し、より速いアルゴリズムの障害となっている主な要因として射影特殊線型群を特定している。これは、グラフ同型問題における交代群が果たす役割と類似している。

ABSTRACT

In this paper, we prove results on the relationship between the complexity of the group and color isomorphism problems. The difficulty of color isomorphism problems is known to be closely linked to the the composition factors of the permutation group involved. Previous works are primarily concerned with applying color isomorphism to bou nded degree graph isomorphism, and have therefore focused on the alternating composit ion factors, since those are the bottleneck in the case of graph isomorphism. We consider the color isomorphism problem with composition factors restricted to those other than the alternating group, show that group isomorphism reduces in n^(O(log log n)) time to this problem, and, conversely, that a special case of this color isomorphism problem reduces to a slight generalization of group isomorphism. We then sharpen our results by identifying the projective special linear group as the main obstacle to faster algorithms for group isomorphism and prove that the aforementioned reduc tion from group isomorphism to color isomorphism in fact produces only cyclic and projective special linear factors. Our results demonstrate that, just as the alternatin g group was a barrier to faster algorithms for graph isomorphism for three decades, the projective special linear group is an obstacle to faster algorithms for group isomorphism.

研究の動機と目的

• 群同型問題と色付き同型問題の複雑度的関係を理解すること。
• より速い群同型問題アルゴリズムを妨げる合成因子を特定すること。
• 交代群の合成因子を除いた色付き同型問題への群同型問題の還元を示すこと。
• 射影特殊線型群がこの還元における中心的障害要因であることを示すこと。

提案手法

• 合成因子を交代群以外に制限した色付き同型問題への群同型問題の還元。
• 置換群の構造を分析し、交代群を超える合成因子に焦点を当てる。
• 還元プロセスにおいて射影特殊線型群が支配的要因であることを同定する。
• 還元が巡回群および射影特殊線型群の因子しか生成しないことを証明する。
• 群論的技術を用いて同型問題の複雑度を分析する。
• 制限付き色付き同型問題の特殊ケースと一般化された群同型問題との間の双方向還元を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交代群の合成因子を除いた場合、群同型問題と色付き同型問題の複雑度的関係は何か？
• RQ2 なぜ射影特殊線型群が群同型問題アルゴリズムにおいてボトルネックとなるのか？
• RQ3 群同型問題は、指数時間未満で制限付き色付き同型問題に還元可能か？
• RQ4 このような還元において生じる置換群の構造的性質は何か？
• RQ5 群同型問題の結果は、グラフ同型問題における交代群の歴史的役割とどのように比較できるか？

主な発見

• 交代群の合成因子を除いた場合、群同型問題は n^(O(log log n)) 時間で制限付き色付き同型問題に還元可能である。
• 還元によって得られる因子は巡回群および射影特殊線型群のものに限られ、後者が主な障害要因であることが特定された。
• 制限付き色付き同型問題の特殊ケースは、一般化された群同型問題に還元可能である。
• 射影特殊線型群は、グラフ同型問題における交代群と類似した役割を果たし、より速いアルゴリズムの障害となっている。
• 制限付き合成因子の下で、群同型問題と色付き同型問題の間のきつい構造的・複雑度的関係が確立された。
• 研究結果は、群同型問題アルゴリズムの進展が、射影特殊線型群が引き起こす課題を克服することにかかっていることを示唆している。