[論文レビュー] On the gyrokinetic limit for the two-dimensional Vlasov-Poisson system

Évelyne Miot|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、磁場強度が無限大に近づく極限において、2次元Vlasov-Poisson系のギロキネティック極限を確立し、初期データに緩い境界を課した場合でも、空間密度が2次元Euler方程式の解に収束することを証明している。エネルギーおよび$L^\infty$ノルムに関する精密な推定を用いた新たな収束証明により、$\varepsilon^2 \Theta(\|f_\varepsilon^0\|_{L^\infty}) \to 0$ を満たす限り、$\|f_\varepsilon^0\|_{L^\infty}$ が増大する初期データに対しても、従来の結果を拡張している。主な貢献は、極限においてEuler方程式が出現する初期データのより広いクラスの特定にある。

ABSTRACT

We investigate the gyrokinetic limit for the Vlasov-Poisson system in two dimensions, in the regime studied by Golse and Saint-Raymond. We present another proof of convergence to the Euler equation under several assumptions on the energy and on the $L^\infty$ norms of the initial data.

研究の動機と目的

• 高磁場領域（$\varepsilon \to 0$）における2次元Vlasov-Poisson系のギロキネティック極限を確立すること。
• 従来の研究よりも初期データに緩い仮定を課した場合の、渦度に関する2次元Euler方程式への収束の代替的証明を提供すること。
• $\|f_\varepsilon^0\|_{L^\infty}$ が $\varepsilon \to 0$ の間に増大することを許容するように、許容可能な初期データのクラスを拡張すること。ただし、$\varepsilon^2 \Theta(\|f_\varepsilon^0\|_{L^\infty}) \to 0$ かつ $\Theta(\tau) = \tau \ln(\tau+2)$ を満たすものとする。
• 極限における空間密度 $\rho$ が分布の意味で2次元Euler方程式を満たし、$C(\mathbb{R}_+, \mathcal{M}^+({\mathbb{R}}^2) - w^*\text{)}$ において強い収束を示すこと。

提案手法

• 高磁場極限における高速なサイクロトロン運動を捉えるために、スケーリングされた速度変数を用いたVlasov-Poisson方程式の弱形式を用いる。
• $x \mapsto x + \varepsilon v^\perp$ の変数変換を適用し、$\varepsilon \to 0$ の極限における粒子軌道を追跡する。この変換はヤコビアン行列式を保存する。
• 測度空間におけるコンパクトネスの議論と弱*収束を用いて、$\rho_\varepsilon$ の列から極限密度 $\rho$ を抽出する。
• 初期データのエネルギーおよび $L^\infty$ ノルムに対する一様な境界を用いて、発展を制御し、$\rho_\varepsilon$ の相対的コンパクト性を $C(\mathbb{R}_+, \mathcal{M}^+({\mathbb{R}}^2) - w^*)$ で保証する。
• $E_\varepsilon^\perp$ が勾配場であることに着目し、弱形式において極限を取ることで、$\rho$ が分布の意味で2次元Euler方程式を満たすことを示す。
• より強い収束結果を得るため、$f_\varepsilon^0$ に対して一様な $L^\infty$ 界を仮定し、$\rho_\varepsilon$ に対して $L^2$ 界を導出し、$C(\mathbb{R}_+, L^2({\mathbb{R}}^2) - w)$ における収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の知られていたものよりも、初期分布の $L^\infty$ ノルムに関する仮定を緩めた条件下でも、2次元Vlasov-Poisson系のギロキネティック極限を確立できるか？
• RQ2 $\|f_\varepsilon^0\|_{L^\infty}$ が $\varepsilon \to 0$ の間に増大する場合でも、$\varepsilon^2 \Theta(\|f_\varepsilon^0\|_{L^\infty}) \to 0$ を満たす限り、2次元Euler方程式への収束は成立するか？
• RQ3 初期データが $L^\infty$ で一様に有界でない場合、極限空間密度 $\rho$ の正則性および収束性はどのように振る舞うか？
• RQ4 初期データの条件を緩めた場合でも、極限解 $\rho$ が分布の意味で2次元Euler方程式を満たすことを示せるか？
• RQ5 エネルギーおよびモーメントの境界が、測度の弱*位相における $\rho_\varepsilon$ の相対的コンパクト性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• $\varepsilon^2 \Theta(\|f_\varepsilon^0\|_{L^\infty}) \to 0$ かつ $\Theta(\tau) = \tau \ln(\tau+2)$ を満たす仮定 (1.3)、(1.4)、(1.5) の下で、空間密度の列 $\rho_\varepsilon$ は $C(\mathbb{R}_+, \mathcal{M}^+({\mathbb{R}}^2) - w^*)$ において極限 $\rho$ に収束する。
• 極限 $\rho$ は $L^\infty(\mathbb{R}_+, H^{-1}({\mathbb{R}}^2))$ に属し、定義2.1の意味で2次元Euler方程式の渦度解である。
• 初期データが一様 $L^\infty$ 界 (1.7) を満たす場合、収束は $C(\mathbb{R}_+, L^2({\mathbb{R}}^2) - w)$ に強化され、$\rho$ は $L^\infty(\mathbb{R}_+, L^2({\mathbb{R}}^2))$ におけるグローバル解である。
• 電場列 $E_\varepsilon^\perp$ は $C(\mathbb{R}_+, L^2_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^2))$ において $E^\perp$ に収束し、極限における速度場が適切に定義されることを保証する。
• 変数変換とコンパクトネスを用いて弱形式において極限を取ることで、$\rho$ が分布の意味で2次元Euler方程式を満たすことが証明された。
• 初期データが単一速度分布に収束する場合、例えば $f_\varepsilon^0(x,v) = \rho_0(x) \frac{1}{\eta_\varepsilon^2} F\left(\frac{v - u_\varepsilon(x)}{\eta_\varepsilon}\right)$ である場合でも、$\varepsilon^2 \Theta(\eta_\varepsilon^{-2}) \to 0$ を満たす限り、結果は成立する。