[論文レビュー] On the Hall algebra of coherent sheaves on P^1 over F_1

Matt Szczesny|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1つの元の体（$\mathbb{F}_1$）上の射影直線の連接層のホール代数を構成し、加法的でないがファイナリティのあるアーベル圏に似た性質を示す、モノイドスキーム $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上の正規連接層の圏を定義する。主な結果として、ホール代数が、ループ代数 $L\mathfrak{gl}_2$ の非標準的ボレル部分代数 $L\mathfrak{gl}^+_2$ と、無限個の生成子を持つアーベル代数 $\kappa$ の直和の普遍包あらゆる代数 $\mathbb{U}(L\mathfrak{gl}^+_2 \oplus \kappa)$ に同型であることが示され、カプラノフの量子ループ代数結果の $q=1$ 版が得られる。

ABSTRACT

We define and study the category $Coh_n(\Pone)$ of normal coherent sheaves on the monoid scheme $\Pone$ (equivalently, the $\mathfrak{M}_0$-scheme $\Pone / \fun$ in the sense of Connes-Consani-Marcolli \cite{CCM}). This category resembles in most ways a finitary abelian category, but is not additive. As an application, we define and study the Hall algebra of $Coh_n(\Pone)$. We show that it is isomorphic as a Hopf algebra to the enveloping algebra of the product of a non-standard Borel in the loop algebra $L {\mathfrak{gl}}_2$ and an abelian Lie algebra on infinitely many generators. This should be viewed as a $(q=1)$ version of Kapranov's result relating (a certain subalgebra of) the Ringel-Hall algebra of $\mathbb{P}^1$ over $\mathbb{F}_q$ to a non-standard quantum Borel inside the quantum loop algebra $\mathbb{U}_ν (\slthat)$, where $ν^2=q$.

研究の動機と目的

• モノイドスキーム $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上の正規連接層の圏 $Coh_n(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ を定義し、$\mathbb{F}_1$-幾何の文脈における連接層の一般化を研究すること。
• 加法的でないにもかかわらず、ポイント付き集合にホール代数の技法を適応させることで、この圏に対するホール代数 $\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ を構成すること。
• $\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ をホップ代数として構造的に記述し、その原始的元と代数的生成子を同定すること。
• カプラノフの結果（$\mathbb{F}_q$ 上の $\mathbb{P}^1$ のリングル＝ホール代数が $\mathbb{U}_\nu(L\mathfrak{sl}_2)$ の量子ボレル部分代数と関係すること）の $q=1$ 版を提供すること。

提案手法

• Deitmar や Connes-Consani-Marcolli の枠組みを一般化し、モノイドスキーム $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上の連接層を、正規性条件と局所的有限生成性を満たすポイント付き集合の層として定義する。
• $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上の分解不能な連接層を、ラインバンドル $\mathcal{O}(n)$、巡回層 $\mathcal{C}_n$、およびトーショント層 $\mathcal{T}_{0,k}, \mathcal{T}_{\infty,l}$ に分類し、これらがすべての連接層の構成要素であることを示す。
• $\mathbb{Q}$ 上の階数付き、連結で、ココミュタティブなホップ代数として、$\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ を構成し、同型類による基底 $\delta_{\mathcal{F}}$ を持つ。
• ミルノ＝ムーアの定理を用いて、$\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ の原始的元のリー代数を、分解不能な $\mathcal{F}$ に対する $\delta_{\mathcal{F}}$ で張られることを同定し、それらの交換関係を計算する。
• 生成子を $\delta_{\mathcal{O}(k)}$、$\delta_{\mathcal{T}_{0,n}}$、$\delta_{\mathcal{T}_{\infty,n}}$、$\delta_{\mathcal{C}_n}$ に写像するリー代数の準同型 $\rho: L\mathfrak{gl}^+_2 \oplus \kappa \to \mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ を定義し、それが同型であることを証明する。
• $\overline{\mathcal{O}(k)}$ と $\overline{\mathcal{T}_{0,n}} + \overline{\mathcal{T}_{\infty,n}}$ で生成される部分代数が $\mathbb{U}(L\mathfrak{sl}^+_2)$ に同型であることを示し、カプラノフの量子結果を模倣する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイドスキームを用いた $\mathbb{F}_1$-幾何の枠組みにおいて、$\mathbb{P}^1$ 上の連接層の圏をどのように一般化できるか？
• RQ2 加法的でないにもかかわらず、正規連接層の圏 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ のホール代数の構造はどのようなものか？
• RQ3 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ のホール代数は量子ループ代数とどのように関係し、カプラノフの構成の $q=1$ 限界と見なせるか？
• RQ4 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ 上の分解不能な連接層は何か、そしてそれらがホール代数をどのように生成するか？
• RQ5 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1}$ のホール代数は、リー代数の普遍包あらゆる代数として記述可能か？ もしそうなら、どのリー代数か？

主な発見

• ホール代数 $\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ は、ホップ代数として $\mathbb{U}(L\mathfrak{gl}^+_2 \oplus \kappa)$ に同型であり、ここで $L\mathfrak{gl}^+_2$ はループ代数 $L\mathfrak{gl}_2$ の非標準的ボレル部分代数である。
• $L\mathfrak{gl}^+_2$ は $e \otimes t^k$、$h_1 \otimes t^n$、$h_2 \otimes t^m$ で張られ、$e = \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}$、$h_1 = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$、$h_2 = \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$ である。
• アーベルリー代数 $\kappa$ は $n \in \mathbb{N}$ に対して生成子 $\kappa_n$ を持ち、それらは巡回層 $\mathcal{C}_n$ に対応する。
• $\mathbb{H}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_1})$ 内の交換関係は $L\mathfrak{gl}^+_2 \oplus \kappa$ のそれらと一致し、$[\overline{\mathcal{T}_{x,n}}, \overline{\mathcal{O}(m)}] = \overline{\mathcal{O}(n+m)}$ および $[\overline{\mathcal{C}_n}, \overline{\mathcal{F}}] = 0$（$\mathcal{F}$ が分解不能な場合）が成り立つ。
• $\overline{\mathcal{O}(k)}$ と $\overline{\mathcal{T}_{0,n}} + \overline{\mathcal{T}_{\infty,n}}$ で生成される部分代数は $\mathbb{U}(L\mathfrak{sl}^+_2)$ に同型であり、$L\mathfrak{sl}^+_2 = (\mathfrak{h} \otimes t\mathbb{C}[t]) \oplus (e \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}])$ で、$\mathfrak{h} = \mathbb{C} \cdot \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}$ である。
• ホール代数はグロテンディーク群 $K_0(\mathbb{P}^1)$ により階数付けられており、ミルノ＝ムーアの定理により、その原始的元のリー代数の普遍包あらゆる代数に同型であることが保証される。