[論文レビュー] On the Hall algebra of semigroup representations over F_1

Matt Szczesny|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、零元をもつ有限生成半群 A について、1つの元からなる体 F₁ 上の有限 A-表現のホール代数を導入し、それが原始的元のリー代数の普遍包あらわし代数に同型であることを示している。主な結果として、自由モノイド ⟨t⟩ のホール代数がクライマーの根付き森のホップ代数に同型であることが示され、これにより森に新たな可換演算が定義可能となり、群モノイドを含む他の半群へ一般化可能である。

ABSTRACT

Let $\A$ be a finitely generated semigroup with 0. An $\A$-module over $\fun$ (also called an $\A$--set), is a pointed set $(M,*)$ together with an action of $\A$. We define and study the Hall algebra $\H_{\A}$ of the category $\C_{\A}$ of finite $\A$--modules. $\H_{\A}$ is shown to be the universal enveloping algebra of a Lie algebra $ _{\A}$, called the \emph{Hall Lie algebra} of $\C_{\A}$. In the case of the $\fm$ - the free monoid on one generator $\fm$, the Hall algebra (or more precisely the Hall algebra of the subcategory of nilpotent $\fm$-modules) is isomorphic to Kreimer's Hopf algebra of rooted forests. This perspective allows us to define two new commutative operations on rooted forests. We also consider the examples when $\A$ is a quotient of $\fm$ by a congruence, and the monoid $G \cup \{0\}$ for a finite group $G$.

研究の動機と目的

• 有限生成で零元をもつ半群 A に対して、F₁ 上の有限 A-加群のホール代数を定義し、その性質を調べること。
• 正規準同型の部分圏のホール代数 H_{C^N_A} が、リー代数の原始的元の普遍包あらわし代数に同型であることを確立すること。
• F₁ 上のホール代数と組合せ的ホップ代数（特に根付き森）との関係を調査すること。
• 正規準同型に制限することで、加法的でない圏に対してもホール代数の構成を一般化すること。
• 有限群 G に対して G ∪ {0} = G̅ とおくとき、G̅ のホール代数がバーンサイド環 Ω(G) と関係することを明らかにすること。

提案手法

• F₁ 上の A-加群を、零元をもつ半群 A による作用をもつ有限点付き集合として定義する。
• このような A-加群のなす圏 C_A を構成し、有限な拡張数を保証するため、正規準同型の部分圏 C^N_A に制限する。
• 対象の同型類の自由 Z-加群としてホール代数 H_{C^N_A} を定義し、構造定数は短完全系列の数を数えるものとする。
• Q とテンソル積をとった後、コムルティビティと反数作用を導入し、ホップ代数構造を与える。
• ミルナー＝ムーアの定理を適用し、H_{C^N_A} が原始的元のリー代数の普遍包あらわし代数に同型であることを示す。
• 特殊ケースの解析：A = ⟨t⟩、A = G̅、およびクイバー代数 A(Q)。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F_q 上のアーベル圏から F₁ 上の非加法的圏へのホール代数構成をどのように一般化できるか？
• RQ2 F₁ 上の有限 ⟨t⟩-加群の圏のホール代数の構造は何か？ そして既知の組合せ的ホップ代数とどのように関係するか？
• RQ3 G̅ = G ∪ {0} のホール代数は、G のバーンサイド環といった古典的代数的不変量と関係づけられるか？
• RQ4 正規準同型は非加法的圏における有限性および完全性の性質を回復するために果たす役割は何か？
• RQ5 F₁ 上の半群表現のホール代数は、根付き森の組合せ論的性質および群作用をどのように反映するか？

主な発見

• F₁ 上の nilpotent ⟨t⟩-加群のホール代数 H_{C^N_{⟨t⟩}} は、クライマーの根付き森のホップ代数に同型である。
• この同型により、根付き森に2つの新たな可換演算が定義可能となり、代数的構造が拡張される。
• モノイド G̅ = G ∪ {0} に対して、ホール代数 H_{G̅} は多項式代数 Q[Ḡ_i] に同型であり、ここに Ğ_i は G の部分群の共轭類に対応する非分解的 G̅-加群である。また、原始的元のリー代数はアーベル的である。
• 外積代数 Rep^∧[G̅] は、有限群 G のバーンサイド環 Ω(G) に同型であり、ホール代数と古典的表現論との直接的な関係が確立される。
• 圏 C^N_{G̅} は半単純であり、任意の対象が非分解的加群の直和として一意に分解可能であり、すべての短完全系列が分裂する。
• ホール代数 H_{C^N_A} は、ミルナー＝ムーアの定理により、原始的元のリー代数 n_{C^N_A} の普遍包あらわし代数 U(n_{C^N_A}) に同型である。