[論文レビュー] On the Hamilton-Waterloo Problem with odd orders

Andrea C. Burgess, Peter Danziger+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、奇数のサイクル長に対してハミルトン＝ウォーターヒューズ問題を解決し、任意の奇数の整数 $m$ および $n$ に対して、$v$ が $mn$ の倍数であり、$v > mn$ であるとき、$K_v$ に $C_m$-因子分解と $C_n$-因子分解が存在することを証明している。主な結果は、これらの制約下で必要条件が十分であることを示しており、$(m,n,\beta)$ の5つの追加の可能性のある例外と、$v=mn$ の場合の7つの例外を除いて、有限個の例外を除いて成立する。

ABSTRACT

Given non-negative integers $v, m, n, α, β$, the Hamilton-Waterloo problem asks for a factorization of the complete graph $K_v$ into $α$ $C_m$-factors and $β$ $C_n$-factors. Clearly, $v$ odd, $n,m\geq 3$, $m\mid v$, $n\mid v$ and $α+β= (v-1)/2$ are necessary conditions. To date results have only been found for specific values of $m$ and $n$. In this paper we show that for any $m$ and $n$ the necessary conditions are sufficient when $v$ is a multiple of $mn$ and $v>mn$, except possibly when $β=1$ or 3, with five additional possible exceptions in $(m,n,β)$. For the case where $v=mn$ we show sufficiency when $β> (n+5)/2$ except possibly when $(m,α) = (3,2)$, $(3,4)$, with seven further possible exceptions in $(m,n,α,β)$. We also show that when $n\geq m\geq 3$ are odd integers, the lexicographic product of $C_m$ with the empty graph of order $n$ has a factorization into $α$ $C_m$-factors and $β$ $C_n$-factors for every $0\leq α\leq n$, $β= n-α$, except possibly when $α= 2,4$, $β= 1, 3$, with three additional possible exceptions in $(m,n,α)$.

研究の動機と目的

• $v$ が $mn$ の倍数であり、$v > mn$ のとき、奇数のサイクル長 $C_m$ および $C_n$ のハミルトン＝ウォーターヒューズ問題を解くこと。
• 奇数の $m,n$ に対して、$K_v$ が $\alpha$ 個の $C_m$-因子と $\beta$ 個の $C_n$-因子に分解可能である条件を特定すること。
• 従来の結果を拡張し、$v$ が $mn$ の倍数である場合に、必要条件が十分であることが、有限個の例外を除いて成り立つことを示すこと。
• $v = mn$ の場合を分析し、$\beta > (n+5)/2$ のとき、十分条件が成り立つことを確立すること。ただし、特定の小さな $\alpha$ 値を除く。

提案手法

• 既知の $K_t[n]$ の $C_m$-因子分解に関する結果を活用し、$C_m[n]$ の辞書的積を用いて因子分解を構成する。
• Theorem 1.4 を $K_t[n]$ の $C_m$-因子分解に適用し、辞書的積におけるサイクル因子の存在条件を確立する。
• ワレッキの方法に基づく再帰的・帰納的構成を用いて、$K_v$ における $C_m$ および $C_n$ 因子を構築する。
• $\alpha$ と $\beta$ のケース解析を用い、$v = mn$ で $\beta > (n+5)/2$ のとき、特定の小さな $\alpha$ 値を除いて十分性を証明する。
• $C_m[n]$ 及びその2因子分解の構造を分析し、$C_m$-因子と $C_n$-因子が $K_v$ 内で共存可能な条件を導出する。
• 既知のオーバーフォルト問題および一般化されたオーバーフォルト問題の結果を適用し、ハミルトン＝ウォーターヒューズ問題を既知のサイクル分解定理に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $v$ が $mn$ の倍数であり、$v > mn$ であるとき、奇数の整数 $m$ および $n$ に対して、ハミルトン＝ウォーターヒューズ問題 $\mathrm{HW}(v;m,n;\alpha,\beta)$ が解をもつのはどのような場合か？
• RQ2 $v = mn$ のとき、$C_m$-因子分解と $C_n$-因子分解が $K_v$ に存在するための必要十分条件は何か？
• RQ3 $v$ が $mn$ の倍数であるとき、ハミルトン＝ウォーターヒューズ問題の必要条件が、有限個の例外を除いて十分であることを示せるか？
• RQ4 $\beta$ が小さい場合、たとえば $\beta = 1$ または $3$ のとき、$\alpha$ と $\beta$ の値は解の存在にどのように影響するか？
• RQ5 辞書的積 $C_m[n]$ は、奇数のサイクル長に対するハミルトン＝ウォーターヒューズ問題の解の構成において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• $v$ が $mn$ の倍数であり、$v > mn$ であるとき、$\mathrm{HW}(v;m,n;\alpha,\beta)$ の存在に必要な条件は十分であるが、$\beta = 1$ または $3$ の場合に限り、$(m,n,\beta)$ の5つの追加の可能性のある例外を除く。
• $v = mn$ のとき、$\beta > (n+5)/2$ ならば必要条件は十分であるが、$(m,\alpha) = (3,2)$ または $(3,4)$ の場合に限り、$(m,n,\alpha,\beta)$ の7つの追加の可能性のある例外を除く。
• 辞書的積 $C_m[n]$ は、すべての $0 \leq \alpha \leq n$、$\beta = n - \alpha$ に対して、$\alpha$ 個の $C_m$-因子と $\beta$ 個の $C_n$-因子に分解可能であるが、$\alpha = 2,4$ かつ $\beta = 1,3$ の場合に限り、$(m,n,\alpha)$ の3つの追加の可能性のある例外を除く。
• 論文は、$v$ が $mn$ の倍数であり、$v > mn$ であるとき、すべての奇数の $m,n$ に対して $K_v$ が $C_m$-因子分解と $C_n$-因子分解をもつことを証明している。
• 著者らは、$v = mn$ で $\beta > (n+5)/2$ のとき、すべての奇数の $m,n$ に対してハミルトン＝ウォーターヒューズ問題が解けることを確立している。ただし、指定された例外ケースを除く。
• 本研究は、オーバーフォルト問題およびハミルトン＝ウォーターヒューズ問題に関する従来の研究を拡張し、$v$ に対して広範な条件下で奇数のサイクル長に対する一般解を提供している。