[論文レビュー] On the Hamiltonian structure of large deviations in stochastic hybrid systems

Paul C. Bressloff, Olivier Faugeras|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、速いマーカフ連鎖と遅い連続的力学系の間の時間スケールの分離に基づき、確率的ハイブリッド系における大偏差の背後にあるハミルトニアン構造を確立している。大偏差原理におけるレート関数は、速いマーカフ連鎖と遅い決定的力学系から導かれる線形作用素のペロン固有値として現れるハミルトニアンに基づく古典的作用によって決定される。主な貢献は、WKB法や経路積分といった応用的手法と、厳密な大偏差理論を統合する一様なハミルトニアン枠組みの同定であり、神経膜電位の揺らぎを含む確率的イオンチャネルの文脈で検証されている。

ABSTRACT

We develop the connection between large deviation theory and more applied approaches to stochastic hybrid systems by highlighting a common underlying Hamiltonian structure. A stochastic hybrid system involves the coupling between a piecewise deterministic dynamical system in $R^d$ and a time-homogeneous Markov chain on some discrete space $Γ$. We assume that the Markov chain on $Γ$ is ergodic, and that the discrete dynamics is much faster than the piecewise deterministic dynamics (separation of time-scales). Using the Perron-Frobenius theorem and the calculus-of-variations, we evaluate the rate function of a large deviation principle in terms of a classical action, whose Hamiltonian is given by the Perron eigenvalue of a $|Γ|$-dimensional linear equation. The corresponding linear operator depends on the transition rates of the Markov chain and the nonlinear functions of the piecewise deterministic system. The resulting Hamiltonian is identical to one derived using path-integrals and WKB methods. We illustrate the theory by considering the example of stochastic ion channels.

研究の動機と目的

• 確率的ハイブリッド系における大偏差理論とWKB法や経路積分といった応用的手法との間の厳密な接続を確立すること。
• 速い離散的マーカフ連鎖と遅い連続的力学系を有する系における大偏差原理のレート関数の背後にある共通のハミルトニアン構造を同定すること。
• レート関数を、遷移率と駆動関数を含む行列作用素のペロン固有値として現れるハミルトニアンに基づく古典的作用の形で導出すること。
• 遅い力学系が区分的確率的微分方程式（SDE）に従うマルチスケール系へと分析を拡張すること。
• 神経膜電位の揺らぎに関連する、確率的イオンチャネルの例を用いて、フレームワークの妥当性を検証すること。

提案手法

• レート関数は変分法と、マーカフ連鎖の遷移率と連続系の駆動を符号化する $|̳|$ 次元線形作用素に適用されたペロン＝フロベニウスの定理を用いて導出される。
• ハミルトニアンは作用素 $\mathcal{L}^{x} + \beta F_{\cdot}(x)$ の主（ペロン）固有値として定義され、ここで $\mathcal{L}^{x}$ は速いマーカフ連鎖の無限小生成作用素である。
• 対応するラグランジアンは、ハミルトニアンのフェンヒェル＝レギュラルト変換により得られ、凸性と双対性が保証される。
• 作用関数 $S_{0T}(\gamma) = \int_0^T L(\gamma_t, \dot{\gamma}_t) dt$ を用いて、スケーリングされた遅い過程 $z^{\varepsilon}$ における大偏差原理が定義される。
• 時間スケーリングの変換と縮約原理を用いて大偏差原理が確立され、領域からの抜ける確率の指数的漸近的挙動が得られる。
• フレームワークは、確率的イオンチャネルモデルにおいてWKB法や経路積分法と同等であることを示すことにより検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的ハイブリッド系における大偏差理論のレート関数は、明確なハミルトニアンを持つ古典的作用としてどのように表現できるか？
• RQ2 速いマーカフ連鎖と遅い決定的力学系の間の時間スケールの分離から生じるハミルトニアンの正確な数学的構造は何か？
• RQ3 遷移率と駆動関数を含む作用素のペロン固有値は、第一到達時間問題における準位能とどのように関係するか？
• RQ4 ハミルトニアン構造は、生物学的系におけるWKB法や経路積分法といった応用的手法と、厳密な大偏差結果を統一することができるか？
• RQ5 このフレームワークは、遅い力学系が区分的SDEに従う系へとどの程度拡張可能か？

主な発見

• 大偏差原理のレート関数は、古典的作用 $J_T[x] = \int_0^T L(x, \dot{x}) dt$ として表現され、ここでラグランジアン $L$ はハミルトニアンのフェンヒェル＝レギュラルト変換から得られる。
• ハミルトニアンは、速いマーカフ連鎖の無限小生成作用素と遅い力学系の駆動を組み合わせた作用素 $\mathcal{L}^{x} + \beta F_{\cdot}(x)$ のペロン固有値として同定される。
• 得られたハミルトニアン構造は、経路積分法やWKB法によって導かれたものと同等であり、厳密な理論的手法と応用的手法を統合する枠組みを確立する。
• 吸引子からの脱出率を支配する準位能 $\Phi(x)$ は、このハミルトニアンを用いたハミルトン＝ヤコビ方程式 $H(x, \partial_x \Phi) = 0$ を満たす。
• 確率的イオンチャネルにおいて、このフレームワークは既知の結果を再現し、神経系の動的揺らぎにおけるレアイベント確率を体系的に計算する手法を提供する。
• 遅い区分的SDEを有するマルチスケール系に対しても、同様のハミルトニアン構造が大偏差挙動を支配することが示された。