[論文レビュー] On the Height Profile of a Conditioned Galton-Watson Tree

Götz Kersting|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、安定分布の吸引域に属する一般の offspring 分布を持つ、条件付きガルトン＝ワトソン木の高さプロファイルの関数極限定理を確立する。適切なスケーリングのもとで、高さプロファイルは正規化された Lévy 突然移動の関数的形に分布収束することを証明し、アルドウスの予想を有限分散から無限分散の場合へ拡張する。本研究は、ブリッジから突然移動へのカップリングと Skorohod 収束に基づく、新たな手法を用いる。

ABSTRACT

Drmota and Gittenberger (1997) proved a conjecture due to Aldous (1991) on the height profile of a Galton-Watson tree with an offspring distribution of finite variance, conditioned on a total size of $n$ individuals. The conjecture states that in distribution its shape, more precisely its scaled height profile coincides asymptotically with the local time process of a Brownian excursion of duration 1. We give a proof of the result, which extends to the case of an infinite variance offspring distribution. This requires a different strategy, since in the infinite variance case there is no longer a relationship to the local time of Brownian resp. Lévy excursions.

研究の動機と目的

• サイズ n のガルトン＝ワトソン木を条件付けるとき、その高さプロファイルの漸近的形状を確立し、従来の有限分散の結果を超えて拡張すること。
• アルドウスの予想、すなわちスケーリングされた高さプロファイルがブラウン運動の突然移動の局所時刻に収束することを、無限分散の場合に解決すること。
• offspring 分布が指数 α ∈ (1,2] の安定分布の吸引域にある場合に、条件付きガルトン＝ワトソン木の収束を一般化する枠組みを構築すること。
• ブラウン運動の突然移動の局所時刻に依存しない、Lévy プロセスとブリッジから突然移動への変換を用いた、新たな証明戦略を提供すること。

提案手法

• 関数極限定理の手法を用い、スケーリングされた高さプロファイル $ H^n(u) = a_n^{-1} Z_{[nu/a_n]} $ を分析する。ここで $ a_n $ は、$ a_n^{-1}(\text{i.i.d. な offspring 変数の和} - n) $ が分布収束するように選ばれる。
• Skorohod の定理を適用し、スケーリングされたランダムウォークブリッジ $ S^n $ が、時間 1 で 0 に戻ることを条件とした Lévy ブリッジ $ X $ にほとんど確実に収束すると仮定する。
• プロセスが最小値に達する最初の時刻 $ T(f) $ を用いた巡回シフト変換により、Lévy ブリッジ $ X $ から正規化された突然移動 $ Y $ を構成する。
• 高さプロファイル $ H $ を、正規化された突然移動 $ Y $ の関数的形 $ \psi(Y) $ として定義する。累積高さ過程 $ C_u $ は、$ C_u = \sup\{ s \leq 1 : \int_0^s \frac{dt}{Y_t} \leq u \} $ で与えられる。
• ブリッジから突然移動への写像 $ f \mapsto \overline{f} $ が Skorohod 位相において連続であることを、最小値点のほとんど確実な一意性とその点での連続性に依存して示す。
• 関連するブリッジ $ S^n $ が $ X $ に収束し、誘導される突然移動 $ \overline{S^n} $ が $ \overline{X} = Y $ に収束することを証明することで、高さプロファイル $ H^n $ が $ H = \psi(Y) $ に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 offspring 分布が無限分散の場合、条件付きガルトン＝ワトソン木の高さプロファイルは、正規化された Lévy 突然移動の関数的形に分布収束するか？
• RQ2 アルドウスの予想、つまりスケーリングされた高さプロファイルがブラウン運動の突然移動の局所時刻に収束することを、有限分散の範囲を超えて拡張できるか？
• RQ3 offspring 分布が指数 $ \alpha \in (1,2) $ の安定分布の吸引域にある場合、高さプロファイルの正しいスケーリング $ a_n $ は何か？
• RQ4 ジャンプを伴う Lévy プロセスの文脈において、ブリッジから突然移動への変換をどのように厳密に正当化できるか？
• RQ5 高さプロファイルの収束は、Skorohod 位相における弱収束に対して安定的か？ また、変換は連続性を保たれるか？

主な発見

• CGW(n)-木の高さプロファイル $ H^n $ は、$ Y $ を offspring 分布と同じ吸引域に属する Lévy プロセスの正規化された突然移動とするとき、$ H = \psi(Y) $ に分布収束する。
• 有限分散の offspring 分布の場合、$ a_n = \sigma n^{1/2} $ であり、極限過程 $ H $ は正規化されたブラウン運動の突然移動の局所時刻の半分に分布的に一致する。
• 無限分散の場合でも、極限過程 $ H $ は非退化であり、ブラウン運動の局所時刻に対応しないが、正規化された Lévy 突然移動から生じる。
• 収束は、Skorohod $ J_1 $ 位相における cádlág 関数空間で成り立つため、極限の経路的安定性が保証される。
• 最初の最小値点を用いたブリッジから突然移動への変換は、Skorohod 位相において連続であるため、ブリッジの収束が突然移動へと伝播可能である。
• 極限過程 $ H $ はほとんど確実に非退化であり、$ \int_0^{0+} \frac{dt}{Y_t} < \infty $ であるため、すべての $ u \in (0,h) $ に対して $ H_u > 0 $ であり、$ u \to h $ のとき $ C_u \to 1 $ となる。