[論文レビュー] On the Hochschild (co)homology of Quantum Homogeneous Spaces

Ulrich Kraehmer|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ホフ・アーティクルのホッフ代数から右コイデアル部分代数（量子同次空間）へのブラウンとチャンのホッフホモロジーにおけるポアンカレ双対性を拡張する。滑らかでゴレンシュタインな量子同次空間で $AB^+ = B^+A$ を満たす場合、双対化双モジュール $ \omega = \mathrm{Ext}^{\dim(B)}_{B^e}(B, B^e)$ が可逆であることを証明する。主な結果は、標準的ポドレル量子2次球面に対して $ \omega \simeq B_{S^2}$ が成り立つことであり、$S^2$ は反置換の平方を表す。これは双対性を確認し、明示的なコホモロジー計算を可能にする。

ABSTRACT

The recent result of Brown and Zhang establishing Poincare duality in the Hochschild (co)homology of a large class of Hopf algebras is extended to right coideal subalgebras over which the Hopf algebra is faithfully flat, and applied to the standard Podles quantum 2-sphere.

研究の動機と目的

• ホッフ代数から右コイデアル部分代数（量子同次空間）へのブラウンとチャンのホッフホモロジーにおけるポアンカレ双対性の一般化。
• 滑らかでゴレンシュタインな量子同次空間に対して、双対化双モジュール $\omega = \mathrm{Ext}^{\dim(B)}_{B^e}(B, B^e)$ が可逆となる条件の確立。
• 理論を標準的ポドレル量子2次球面に適用し、双対性を用いてそのホッフコホモロジーを計算すること。
• 滑らかでゴレンシュタインな量子同次空間に対して、$AB^+ \neq B^+A$ の場合でも $\omega$ の可逆性が普遍的に成り立つかの調査。

提案手法

• ホッフ代数 $A$ で反置換が双射であるものとし、$B \subset A$ を右コイデアルかつ $k$ 上に忠実平坦な右コイデアル部分代数とする。ブラウンとチャンの双対性結果をこれに拡張する。
• 右平坦な $B$-双モジュールに対して、双対性同型 $\mathrm{Ext}^n_{B^e}(B, \cdot) \simeq \mathrm{Tor}^{B^e}_{\dim(B)-n}(\omega \otimes_B \cdot, B)$ を適用し、$\omega = \mathrm{Ext}^{\dim(B)}_{B^e}(B, B^e)$ を用いる。
• 代数 $B$ が $B = \{a \in A \mid (\pi \otimes \mathrm{id}) \circ \Delta(a) = \pi(1) \otimes a\}$ で定義される右コイデアル部分代数としての構造を用いる。ここで $\pi: A \to A/B^+A$ は自然な射影である。
• ゴレンシュタインの場合に $\omega$ を $(B, A)$-ホップ双モジュールとして構成し、$B$-双モジュール構造と $A$-コモジュール構造が両立することを示す。
• $A = \mathbb{C}_q[SL(2)]$、$B$ を標準的ポドレル量子2次球面として、$A$ 内での明示的なコプロダクト式と基底計算を用いる。
• コシュール型複体とコホモロジー計算を用いて、完全性を検証し、$H^0(B, \omega)$ を決定し、$\omega \simeq B_{S^2}$ を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさとコhenマカウレー条件の下で、ホッフ代数から右コイデアル部分代数（量子同次空間）へのホッフホモロジーにおけるポアンカレ双対性は拡張可能か？
• RQ2 滑らかでゴレンシュタインな量子同次空間で $AB^+ = B^+A$ を満たす場合、双対化双モジュール $\omega = \mathrm{Ext}^{\dim(B)}_{B^e}(B, B^e)$ は可逆か？
• RQ3 標準的ポドレル量子2次球面に対して $\omega$ の明示的形は何か？ また、反置換の平方 $S^2$ とどのように関係するか？
• RQ4 可逆性が成り立つ場合、双対性同型を逆転させ、すべての $B$-双モジュール上で $\mathrm{Tor}^n_{B^e}(\cdot, B) \simeq \mathrm{Ext}^{\dim(B)-n}_{B^e}(B, \omega^{-1} \otimes_B \cdot)$ が成り立つか？
• RQ5 すべての滑らかでゴレンシュタインな量子同次空間に対して、$AB^+ \neq B^+A$ の場合でも $\omega$ は可逆か？

主な発見

• 標準的ポドレル量子2次球面 $B \subset \mathbb{C}_q[SL(2)]$ に対して、ホッフコホモロジー次元は $\dim(B) = 2$ であり、$\varepsilon|_B$ はゴレンシュタインである。
• 双対化双モジュール $\omega$ は $B_{S^2}$ に同型であり、ここで $S^2$ は $A$ の反置換の平方を表す。$B$-双モジュールとしての同型 $\omega \simeq B_{S^2}$ が確認される。
• 同型 $\omega_{n,m} \otimes_B \omega_{i,j} \simeq \omega_{n+i,m+j}$ を用いて $\omega$ の可逆性が確立され、$\omega_{0,1}$ が逆元 $\omega_{0,-1}$ を持つことが示される。
• 第0ホッフコホモロジー $H^0(B, \omega_{i,j})$ は、ある $0 \leq m \leq 2j$ に対して $i = 2(m - j)$ のときのみ非自明であり、このとき $k$ に同型である。これはファイバー条件を確認する。
• $\omega$ の可逆性により、すべての $B$-双モジュール上で双対性同型が成り立ち、双対性を逆転させた形 $\mathrm{Tor}^n_{B^e}(\cdot, B) \simeq \mathrm{Ext}^{2-n}_{B^e}(B, \omega^{-1} \otimes_B \cdot)$ が得られる。
• この結果により、$B$ のモジュラー自己同型が $S^2$ で与えられ、ウォロノヴィッチの構成と一致することが確認され、$B$ 上で $\sigma(f) = S^2(f)$ が成り立つ。