[論文レビュー] The Hochschild cohomology ring of the standard Podles quantum sphere

Ulrich Kraehmer|ArXiv.org|Jun 10, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、標準的 Podleß 量子2球面 $\mathbb{C}_q[S^2]$ のねじれ Hochschild コホモロジー環を、カップ積とキャップ積を用いて計算し、基本類を表す循環的2コホモロジーを構成する。また、 twisted derivations とトレースを用いて定義される Hochschild ホモロジー上の汎関数 $\varphi$ が、コブネイリーを加えることで非自明な循環的コホモロジーに下降することを示し、Connes-Moscovici の Hopf-循環的ホモロジー枠組みにおける重要な問題を解決する。

ABSTRACT

The cup and cap product in twisted Hochschild (co)homology is computed for the standard quantum 2-sphere and used to construct a cyclic 2-cocycle that represents the fundamental Hochschild class.

研究の動機と目的

• 標準的 Podleß 量子2球面 $\mathbb{C}_q[S^2]$ におけるねじれ Hochschild (コ)ホモロジーにおけるカップ積とキャップ積を計算すること。
• 先行研究で観察された Hochschild ホモロジー上で自明であったという問題を解決し、循環ホモロジーにおける基本類を表す循環的2コホモロジーを構成すること。
• ねじれ微分作用素とモジュラー自己同型 $\sigma_{\text{mod}}$ の概念的役割が、コホモロジーにおける量子化された外微分代数的構造を生成する仕組みを明確にすること。
• 初期には循環的でないが、ねじれトレースと twisted derivations を用いて定義される $H_2(A, {}_{\sigma_{\text{mod}}}A)$ 上の汎関数 $\varphi$ が、コブネイリーを加えることで非自明な循環的コホモロジーに修正可能であることを示すこと。

提案手法

• ねじれ微分作用素 $[\partial_{\pm 1}] \in H^1(A, {}_{\sigma^{-1}_{\text{mod}}}A)$ のカップ積を計算し、それらが量子化された古典的 $SU(2)$-不変ベクトル場関係を満たすことを示す。
• $H_2(A, {}_{\sigma_{\text{mod}}}A)$ 上の汎関数 $\varphi$ を、$\varphi([\omega]) = q^{-1} \int [\omega] \frown ([\partial_1] \smallsmile [\partial_{-1}])$ として定義する。ここで、$\mathbb{C}_q[SL(2)]$ の余単位から得られるねじれトレース $\int$ を用いる。
• A のねじれ中心を多項式環 $k[x_0]$ として特定し、すべての非自明な $H_2(A, {}_{\sigma^n_{\text{mod}}}A)$ 群の直和が、この環上でのランク1の自由加群であることを示す。
• ねじれ中心のキャップ積作用を用いて、$H_2(A, {}_{\sigma^n_{\text{mod}}}A)$ の構造と $H^0(A,A)$ との双対性を記述する。
• Connes の $\mathsf{SBI}$-系列を適用し、Hochschild ホモロジーと循環ホモロジーを関連づけ、$HC_n(A)$ のバランシング部分を特定し、写像 $\mathsf{I}$ を用いて関連する部分を抽出する。
• 特定のテンソル単項式上で定義された $\phi$ を用いて、$C_2^{\sigma_{\text{mod}}}$ 上にコブネイリー $\eta = \phi \circ \mathsf{b}$ を構成し、$\varphi + \eta$ が $HC_2(A)$ 上で循環的かつ非自明であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的 Podleß 量子2球面におけるねじれ Hochschild (コ)ホモロジーにおけるカップ積とキャップ積の振る舞いはいかなるものか？
• RQ2 ねじれ微分作用素とトレースを用いて定義される $H_2(A, {}_{\sigma_{\text{mod}}}A)$ 上の汎関数 $\varphi$ は、非自明な循環的コホモロジーに拡張可能か？
• RQ3 ねじれ中心とモジュラー自己同型 $\sigma_{\text{mod}}$ は、$\mathbb{C}_q[S^2]$ の Hochschild ホモロジーとコホモロジーをどのように整理しているのか？
• RQ4 Schmütgen-Wagner の循環的2コホモロジーが Hochschild ホモロジー上で消える理由は何か？ そして、これはどのように是正されるか？
• RQ5 非可換設定下で、$HC_n(A)$ の構造は、基礎となる Hochschild ホモロジーと $\mathsf{SBI}$-系列とどのように関係しているか？

主な発見

• ねじれ微分作用素 $[\partial_1]$ と $[\partial_{-1}]$ のカップ積は、量子関係 $[\partial_1]\smallsmile[\partial_1] = [\partial_1]\smallsmile[\partial_{-1}] + q^2[\partial_{-1}]\smallsmile[\partial_1] = [\partial_{-1}]\smallsmile[\partial_{-1}] = 0$ を満たし、量子化された外微分代数を形成する。
• 汎関数 $\varphi$ は $\varphi(a_0,a_1,a_2) = q^{-1}\varepsilon(a_0)F(a_1)E(a_2)$ で与えられ、$E,F$ は $\partial_{\pm 1}$ から得られる非ねじれ微分作用素である。
• A のねじれ中心は $k[x_0]$ に同型であり、$n \geq 1$ に対してすべての $H_2(A, {}_{\sigma^n_{\text{mod}}}A)$ の直和は、この環上でのランク1の自由加群をなす。
• 汎関数 $\varphi$ は $\varphi(1,x_1,x_{-1}) = q^{-1} \neq 0$ であるため、循環的ではないが、コブネイリー $\eta = \phi \circ \mathsf{b}$ を加えることで循環的になる。
• コブネイリー $\eta$ は、$A \otimes A$ 上で定義された汎関数 $\phi$ を用いて定義され、$\phi(1,x_0)$、$\phi(1,x_0^2)$、$\phi(x_0,x_0)$ のみに非ゼロ値をとる。それぞれの明示的値は $\frac{1}{q^{-2}-1}$、$\frac{1}{q-q^{-1}}$、$\frac{1}{2(q-q^{-1})}$ である。
• 修正された汎関数 $\varphi + \eta$ は循環的であり、$HC_2(A)$ 上で非自明な汎関数を誘導する。これにより、Schmütgen や Wagner のような先行研究における自明性の問題が解決される。