[論文レビュー] On the Holonomy of the Coulomb Connection over Manifolds with Boundary

William E. Gryc|ArXiv.org|Oct 10, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界をもつコンパクトなリーマン多様体上の主 bundle におけるクーロン接続のホロノミーを調査し、接続のディリクレ境界条件に注目する。曲率形式が単一の接続においてホロノミーリー代数の稠密部分空間を張らないことは、境界に起因する平均曲率を含む制約によって示される。しかし、平坦接続における1次交換子を含めた積バンドル（ℝⁿ 内の有界領域上）では、その張る空間が稠密となり、これは制限されたホロノミー群がゲージ群の単位成分に稠密であることを示唆する。

ABSTRACT

Narasimhan and Ramadas showed that the restricted holonomy group of the Coulomb connection is dense in the connected component of the identity of the gauge group when one considers the product principal bundle $S^3 imes SU(2) o S^3$. Instead of a base manifold S^3, we consider here a base manifold of dimension $n\ge 2$ with a boundary and use Dirichlet boundary conditions on connections as defined by Marini. A key step in the method of Narasimhan and Ramadas consisted in showing that the linear space spanned by the curvature form at one specially chosen connection is dense in the holonomy Lie algebra with respect to an appropriate Sobolev norm. Our objective is to explore the effect of the presence of a boundary on this construction of the holonomy Lie algebra. Fixing appropriate Sobolev norms, it will be shown that the space spanned, linearly, by the curvature form at any one connection is never dense in the holonomy Lie algebra. In contrast, the linear space spanned by the curvature form and its first commutators at the flat connection is dense and, in the $C^\infty$ category, is in fact the entire holonomy Lie algebra. The former, negative, theorem is proven for a general principle bundle over $M$, while the latter, positive, theorem is proven only for a product bundle over the closure of a bounded open subset of $\mathbb{R}^n$. Our technique for proving absence of density consists in showing that the linear space spanned by the curvature form at one point is contained in the kernel of a linear map consisting of a third order differential operator, followed by a restriction operation at the boundary; this mapping is determined by the mean curvature of the boundary.

研究の動機と目的

• 境界をもつコンパクトなリーマン多様体上の主 bundle におけるクーロン接続のホロノミーを分析すること。
• ディリクレ境界条件がホロノミーリー代数における曲率形式の像の稠密性に与える影響を調査すること。
• 境界が存在する中でも、ホロノミーリー代数が依然として稠密に生成可能かどうかを特定すること。
• 制限されたホロノミー群がゲージ群の単位成分に稠密に保たれる条件を確立すること。

提案手法

• 接続およびゲージ変換にソボレフノルムを用い、正則性のため k > n/2 + 1 を仮定する。
• 線形作用素 T_A を T_A(f) = d_A Δ_A f + 2(n−1)H Δ_A f として構成し、H は境界の平均曲率を表す。
• 任意の接続における曲率形式の像が T_A の核に含まれることを示し、ホロノミーリー代数内での非稠密性を証明する。
• ℝⁿ 内の有界開集合上の積バンドルにおいて、ホロノミーリー代数は曲率およびその1次交換子によって生成される。
• 境界付近にコンパクトな台を持つ関数 f_k を構成し、カットオフ関数 η を用いて境界挙動を制御する。
• 主な議論は、境界上で d(Δf)(ν) + 2(n−1)H Δf = 0 が成り立つことにより、T_A の核と曲率像が関連づけられることに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 底多様体に境界をもつ場合、クーロン接続の曲率形式の像が単一の接続においてホロノミーリー代数の稠密部分空間を張れるか。
• RQ2 境界の平均曲率がゲージ代数内での曲率像の稠密性に与える影響は何か。
• RQ3 境界による制約が存在する中でも、曲率の交換子を含めるとホロノミーリー代数は依然として稠密に生成可能か。
• RQ4 ディリクレ境界条件下で、クーロン接続の制限されたホロノミー群は、ゲージ群の単位成分に稠密に保たれるか。
• RQ5 曲率およびその1次交換子の張る空間が、ゲージ代数の C^∞ 部分を完全に生成する条件は何か。

主な発見

• 任意の接続における曲率形式の像は、境界の平均曲率 H に依存する非自明な有界線形作用素 T_A の核に含まれるため、ホロノミーリー代数内で稠密にはなり得ない。
• 平坦接続における曲率およびその1次交換子によって張られる線形空間は、ℝⁿ 内の有界領域上の積バンドルにおいて、ゲージ代数の C^∞ 部分に稠密に生成される。
• トランビアルなバンドルおよび滑らかな境界をもつ有界開集合を底多様体とする場合、クーロン接続の制限されたホロノミー群は、ゲージ群の単位成分に稠密に保たれる。
• 単一曲率の稠密性の失敗は、3階微分作用素に続く境界制限によって生じるが、これは曲率像上で消える。
• 境界微分を制御可能な関数 f_k の構成により、曲率の像が T_A の核に含まれることを保証し、非稠密性の結果を確立する。
• 正の結果は、T_0(f) = u に対する境界値問題の解法に依拠しており、任意の滑らかなゲージパラメータを曲率およびその交換子から回復可能であることを可能にする。