[論文レビュー] On the homotopy type of the spaces of spherical knots in $R^n$

Victor Turchin, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℝⁿにおける球面的 Knot 空間と、長さ Knot 空間の分類空間への写像のホモトピー纤维の間のホモトピー同値を確立し、球面的 Knot 空間の有理ホモトピー型が、長さ Knot 空間を記述するヘアグラフ複体によって定まることが明らかになる。主な結果は、余次元 ≥3 の場合に、球面的 Knot 空間が、構造群が長さ Knot 空間である球面上への主 bundle であることを示している。

ABSTRACT

We study the spaces of embeddings $S^m\hookrightarrow R^n$ and those of long embeddings $R^m\hookrightarrow R^n$, i.e. embeddings of a fixed behavior outside a compact set. More precisely we look at the homotopy fiber of the inclusion of these spaces to the spaces of immersions. We find a natural fiber sequence relating these spaces. We also compare the $L_\infty$-algebras of diagrams that encode their rational homotopy type, when the codimension $n-m\geq 3$.

研究の動機と目的

• ℝⁿ における球面的 Knot 空間の有理ホモトピー型を理解すること。
• ファイバー列を通じて、球面的 Knot 空間のホモトピー型を長さ Knot 空間のホモトピー型に関連付けること。
• 球面的 Knot 空間と、構造群が長さ Knot 空間である球面上のファイバー束との間のホモトピー同値を確立すること。
• 球面的 Knot 空間の有理ホモトピー型を、長さ Knot 空間に用いられる同じヘアグラフ複体を用いて表現すること。
• ホモトピー論的およびオペラッド的技法を用いて、既知の長さ Knot 空間の結果を球面的 Knot に拡張すること。

提案手法

• 埋め込み空間から浸漬空間への埋め込みのホモトピー纤维を用いて、関心のある空間 $\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)$ および $\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ を定義する。
• 球面上の一点付近での摂動を通じて、$\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ が $\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)$ に自然に作用することを構成する。
• この作用による $\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)$ のホモトピー商が $S^{n-m-1}$ とホモトピー同値であることを証明し、これにより定理 1.1 のファイバー列が得られる。
• 有理ホモトピー論および $L_\infty$-代数を用いて、両空間の有理ホモトピー型を比較する。
• ヘアグラフ複体 $\mathrm{HGC}_{\bar{A}_{m},n}$ を用いて、$\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ の有理ホモトピー群を計算し、主な同値を用いて球面的 Knot に拡張する。
• 一般化されたゴールドマン＝ミルソンの定理を適用し、関連する $L_\infty$-代数のMaurer-Cartan空間が同値であることを示し、有理ホモトピー型の同型が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝⁿ における球面的 Knot 空間の有理ホモトピー型は、ℝⁿ における長さ Knot 空間のそれとどのように関係しているか。
• RQ2 埋め込み空間 $\operatorname{Emb}(S^m, \mathbb{R}^n) \to \operatorname{Imm}(S^m, \mathbb{R}^n)$ のホモトピー纤维は、球面上のファイバー束として記述可能か。
• RQ3 長さ Knot 空間 $\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ は、球面的 Knot 空間のホモトピー型を制御する上で果たす役割は何か。
• RQ4 余次元 $n-m=2$ の場合、無限個のグラフ系列が存在するにもかかわらず、球面的 Knot 空間の有理ホモトピー型は still グラフ複体を用いて表現可能か。
• RQ5 ヘアグラフ複体の $L_\infty$-代数構造は、球面的 Knot 空間の有理ホモトピー型とどのように関係しているか。

主な発見

• 空間 $\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)$ は、写像 $S^{n-m-1} \to B\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ のホモトピー纤维とホモトピー同値であり、主 bundle 構造が確立される。
• $\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)$ のすべての連結成分は同じ有理ホモトピー型を持ち、その $\pi_0$ は長さ Knot 空間のそれと一致する。
• $n-m \geq 3$ の場合、$\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)^\mathbb{Q}$ の有理ホモトピー型は $\mathsf{MC}_\bullet(\mathrm{HGC}_{A_{m},n})$ と同値であり、これはヘアグラフ複体を用いて有理ホモトピー群を計算する。
• 余次元 $n-m=2$ の場合、有理ホモトピー型は依然として完備化された $L_\infty$-代数を用いて表現可能であり、$n=3,5,9$ の場合、$T_\infty\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)^\mathbb{Q} \simeq K(\mathbb{Q},1) \times T_\infty\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^{n-2}, \mathbb{R}^n)^\mathbb{Q}$ が成り立つ。これは一様次元の $L_\infty$-部分代数が存在するためである。
• $n-m \geq 3$ または $n=m+2=3,5,9$ の範囲で、$\overline{\operatorname{Emb}}(S^m, \mathbb{R}^n)^\mathbb{Q}$ と $\overline{\operatorname{Emb}}_\partial(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)^\mathbb{Q}$ の有理ホモトピー型は、同型である。これは同値 $\mathsf{MC}_\bullet(U^t \oplus \mathrm{HGC}_{\bar{A}_{m},n}) \simeq \mathsf{MC}_\bullet(\mathrm{HGC}_{A_{m},n})$ によって示される。