[論文レビュー] On the rational homotopy type of embedding spaces of manifolds in $R^n$

Benoît Fresse, Victor Turchin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、次元 n ≥ m+2 の場合に、ℝⁿ への多様体の埋め込み空間の有理ホモトピー型を特定する。そのために、埋め込み空間と浸漬空間の包含写像のホモトピー纤维の有理ホモトピー群を計算する図式に基づく明示的な $L_∞$-代数を構成する。主な結果は、多様体のコホモロジーに関連する「髪の毛のあるグラフ複体」が、有理ホモトピー型を支配することを示し、以前の結果をより低い余次元に拡張するとともに、ストリングリンク空間に関する予想を解決する。

ABSTRACT

We study the spaces of embeddings of manifolds in a Euclidean space. More precisely we look at the homotopy fiber of the inclusion of these spaces to the spaces of immersions. As a main result we express the rational homotopy type of connected components of those embedding spaces through combinatorially defined $L_\infty$-algebras of diagrams.

研究の動機と目的

• 多様体 L の ℝⁿ への埋め込み空間の有理ホモトピー型、特に自明な埋め込みの上でのホモトピー纤维の有理ホモトピー型を特定すること。
• 余次元 ≥ 2m+1 の場合に既に得られていた埋め込み空間の有理ホモトピー群に関する結果を、より広い範囲 n ≥ m+2 にまで拡張すること。
• 文献 [STT] における予想を解決すること：ストリングリンク空間の有理ホモトピー群（浸漬空間による剰余）は、余次元 ≥ max(mᵢ)+3 の場合に髪の毛のあるグラフ複体によって計算可能である。
• 埋め込み空間の有理ホモトピー型を記述する体系的な枠組みを、$L_\infty$-代数の図式を用いて提供すること。
• 有理ホモトピー群がグラフ複体内のモーラー＝カルタン要素とどのように関係するかを特定し、連結成分のサリバンモデルを構成すること。

提案手法

• 著者たちは、多様体のコホモロジーのホモトピー可換構造に基づいて、$\mathrm{HGC}_{\bar{H}^*(M_*),n}$ と表記される図式の $L_\infty$-代数を用いて、埋め込み空間の有理ホモトピー型をモデル化する。
• 中心的な対象として、埋め込み空間 Emb(L,ℝⁿ) → 浸漬空間 Imm(L,ℝⁿ) のホモトピー纤维を用いる。これは、浸漬として自明な埋め込みを分類する。
• 多様体 L をその開チューブ近傍 $N(L)$ あるいは非有界成分のための $N_\infty(L)$ に置き換えることで、弱ホモトピー型を保存する。
• 有理ホモトピー群は、モーラー＝カルタン要素 m によるねじれられた $L_\infty$-代数 $\mathrm{HGC}_{\bar{H}^*(M_*),n}^m$ のチエヴァリュー＝エイレンベルクコホモロジーとして計算される。
• 連結成分のサリバンモデルは、ねじれられた $L_\infty$-代数の正次数部分の切断のコホモロジー的チエヴァリュー＝エイレンベルク複体を用いて構成される。
• 非コンパクト多様体に対しても、$N_\infty(L)$ を用いることで一般化可能であり、3次元多様体が ℝ⁶ に埋め込まれる場合の既知の分類結果とも整合することが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余次元 n ≥ m+2 の場合に、ℝⁿ 内の多様体の埋め込み空間の有理ホモトピー型をどのように記述できるか？
• RQ2 文献 [STT] における予想、すなわちストリングリンク空間の有理ホモトピー群（浸漬空間による剰余）が、余次元 ≥ max(mᵢ)+3 の場合に髪の毛のあるグラフ複体によって計算可能である、という予想を証明できるか？
• RQ3 図式の $L_\infty$-代数が、埋め込み空間の有理ホモトピー群をどのようにエンコードしているか？
• RQ4 グラフ複体内のモーラー＝カルタン要素は、埋め込みの同値類（同倫型）とどのように関係するか？
• RQ5 図式的 $L_\infty$-代数を用いて、埋め込み空間の連結成分のサリバンモデルを構成できるか？

主な発見

• ホモトピー纤维 $\overline{\mathrm{Emb}}(L,\mathbb{R}^n)$ の有理ホモトピー型は、多様体のコホモロジーと余次元 n に基づいて構成された $L_\infty$-代数 $\mathrm{HGC}_{\bar{H}^*(M_*),n}$ によって計算可能である。
• 文献 [STT] における予想、すなわち $\overline{\mathrm{Emb}}_\partial(\coprod \mathbb{R}^{m_i}, \mathbb{R}^n)$ の有理ホモトピー群が余次元 ≥ max(mᵢ)+3 の場合に髪の毛のあるグラフ複体によって計算可能である、という予想が確認された。
• コンパクト多様体の場合、有理ホモトピー群は同一の $L_\infty$-代数によって計算可能であり、グラフの複雑さのため、高次のホモトピー作用は計算に影響しない。
• 連結成分の有理ホモトピー群は、ねじれられた $L_\infty$-代数の正次数部分の切断のチエヴァリュー＝エイレンベルクコホモロジーと同型である。
• 連結成分のサリバンモデルは、ねじれられた $L_\infty$-代数のコホモロジー的チエヴァリュー＝エイレンベルク複体によって与えられ、埋め込み空間の完全な有理モデルが得られる。
• この枠組みは、有界・非有界の両方の多様体に一様に適用可能であり、非有界の場合には $N_\infty(L)$ がホモトピー同値なモデルを提供する。