[論文レビュー] On the ill-posedness of the cubic nonlinear Schr\\"odinger equation on the circle

Tadahiro Oh, Yuzhao Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、トーラス $[\mathbb{T}$ 上の立方非線形シュレーディンガー方程式 (NLS) に対して、正規化のない状態でも、負のソボレフ空間 $H^s$（$s \leq -\frac{1}{2}$）における悪-posedness を確立し、スケーリング臨界正則性であることを示している。クリスティ・コリランダー・トウの議論を周期的設定に適応することで、初期データが小さいにもかかわらず、解の $H^s$ ノルムが任意に速く増大することを証明し、解写像の均一連続性の不成立を示している。これは、ウィック順序付けられた NLS に対しても同様に成り立つ。

ABSTRACT

In this note, we consider the ill-posedness issue for the cubic nonlinear Schr\\"odinger equation (NLS) on the circle. In particular, adapting the argument by Christ-Colliander-Tao [14] to the periodic setting, we exhibit a norm inflation phenomenon for both the usual cubic NLS and the Wick ordered cubic NLS for $s \\leq s_\ ext{crit} :=- \\frac 12$. We also discuss norm inflation phenomena for general cubic fractional NLS on the circle.

研究の動機と目的

• トーラス $\mathbb{T}$ 上の立方非線形シュレーディンガー方程式 (NLS) が $L^2$ 正則性未満でどのように悪-posed となるかを調査すること。
• 実数直線上の悪-posedness 結果を周期的設定に拡張し、ノルムインフレーションの議論を用いること。
• 負のソボレフ空間 $H^s$（$s \leq -\frac{1}{2}$）において、標準的立方 NLS とウィック順序付けられた立方 NLS の両方を分析すること。
• 解写像が $H^s$（$s \leq -\frac{1}{2}$）で均一連続でないことを確立し、スケーリング臨界正則性における悪-posedness を確認すること。
• 同様のノルムインフレーション機構を用いて、円周上での一般立方分数 NLS の挙動を調査すること。

提案手法

• 実数直線 $\mathbb{R}$ 上での悪-posedness のためのクリスティ・コリランダー・トウの議論を、周期的設定 $\mathbb{T}$ に適応すること。
• $H^s$（$s \leq -\frac{1}{2}$）における初期データを構成し、短時間のうちに解のノルムが急速に増大することを示すこと。
• 標準的立方 NLS とウィック順序付けられた NLS 間のゲージ変換を用いて、$L^2$ では力学を保存するが、それ未満では保存しない関係を確立すること。
• フーリエ制限および周波数局在化技術を用いて、$H^s$ ノルムの増大を制御・推定すること。
• ホルダーの不等式およびヤングの不等式を用いて、反復非線形項の $H^s$ ノルムを上界で抑え込むこと。
• 非線形相互作用における高周波数から低周波数へのエネルギー移動メカニズムを分析し、ノルムインフレーションの下界を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス $\mathbb{T}$ 上の立方非線形シュレーディンガー方程式は、$s \leq -\frac{1}{2}$ においてノルムインフレーションを示すか？
• RQ2 トーラス $\mathbb{T}$ 上の立方 NLS の解写像は、$s < 0$ において $H^s$ で均一連続か？
• RQ3 負のソボレフ空間 $H^s$（$L^2$ 未満）において、ウィック順序付けられた立方 NLS に対してもノルムインフレーションを確立できるか？
• RQ4 一般立方分数 NLS は、$\mathbb{T}$ 上で $s \leq -\frac{1}{2}$ の正則性において、どのように悪-posed な挙動を示すか？
• RQ5 臨界正則性 $s = -\frac{1}{2}$ は、同じノルムインフレーション議論に適用可能か、それとも新しい技術が必要か？

主な発見

• 標準的立方 NLS は、すべての $s \leq -\frac{1}{2}$ において $\mathbb{T}$ 上でノルムインフレーションを示し、スケーリング臨界正則性における悪-posedness を示している。
• トーラス $\mathbb{T}$ 上の立方 NLS に対して、$s < 0$ において解写像が $H^s$ で均一連続でないことが確認され、$L^2$ 未満における弱い悪-posedness が裏付けられた。
• ウィック順序付けられた立方 NLS に対しても、$H^s$（$s \leq -\frac{1}{2}$）においてノルムインフレーションが確立され、$L^2$ 未満で正規化が解の良-posedness を回復しないことが示された。
• この議論は、高周波数から低周波数へのエネルギー移動メカニズムに依存しており、解の $H^s$ ノルムの下界を導出するために活用された。
• $s = -\frac{1}{2}$ の臨界ケースでは、必要なパrameter スケーリングに矛盾が生じるため、この方法は失敗し、この正則性におけるノルムインフレーションを証明するには、新しい技術が必要であることが示唆された。
• 結果は、一般立方分数 NLS に対しても拡張可能であり、同様にスケーリング臨界正則性 $s_{\text{crit}} = -\frac{1}{2}$ でノルムインフレーション現象が観察された。