[論文レビュー] On the integral cohomology of quotients of complex manifolds

Grégoire Menet|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、素数位数の有限群 G による複素多様体 X の積分コホモロジーを調べ、G の局所的作用または固定点集合に関する条件下で一般論を確立する。これらの結果を応用して、滑らかであるものの有限被覆として得られる特異な非分解シンプレクティック多様体における新しいベイルヴィル＝ボゴモロフ形式の格子の構成を行う。

ABSTRACT

The integral cohomology of a complex manifold X quotiented by a finite automorphism group of prime order G is studied. A general result is obtained under assumptions on the local action of G or on the fixed locus of G. As an application, we provide new examples of Beauville-Bogomolov lattices of singular irreducible symplectic varieties obtained as finite quotients of smooth ones.

研究の動機と目的

• 有限位数の素数群による商空間として得られる複素多様体の積分コホモロジーを理解すること。
• 局所群作用または固定点集合に関する条件を同定し、それらが商空間のコホモロジーの取り扱いやすい記述を可能にするかを特定すること。
• コホモロジーの結果を応用して、特異な非分解シンプレクティック多様体に新たな例を構成すること。
• 滑らかな多様体の商として得られる特異多様体を含む、既知のベイルヴィル＝ボゴモロフ格子の分類を拡張すること。

提案手法

• 素数位数の有限群 G が複素多様体 X に作用する様子を、固定点付近の局所的挙動に注目して分析する。
• 等変コホモロジーの技法とスペクトル系列を用いて、X のコホモロジーと商空間 X/G のコホモロジーとの関係を確立する。
• G の局所的作用に関する仮定または固定点集合の構造に関する仮定を用いて、商空間における torsion 要素とベッチ数の制御を行う。
• Leray-Serre スペクトル系列を用いて、群作用の下での商空間のコホモロジーを計算する。
• 既知の有限群被覆の位相的性質およびシンプレクティック特異点の構造に関する結果に依拠する。
• シンプレクティック構造を保つ適切な群作用を施した滑らかな複素多様体を用いて、例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数位数の有限群作用の下で、複素多様体の積分コホモロジーはどのように変化するか？
• RQ2 局所群作用または固定点集合に関するどのような条件が、商空間のコホモロジーの制御可能な記述を保証するか？
• RQ3 このような被覆のコホモロジー構造は、新たなベイルヴィル＝ボゴモロフ格子の構成に寄与できるか？
• RQ4 滑らかなシンプレクティック多様体の商として得られる特異な非分解シンプレクティック多様体の位相的不変量は何か？
• RQ5 商空間のコホモロジー群は、元の多様体のコホモロジーおよび群作用の固定点データとどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、G の局所的作用または固定点集合に関する弱い仮定の下で、X/G の積分コホモロジーに対する一般式を確立する。
• 特にシンプレクティック構造が存在する状況において、元の多様体のコホモロジーの主要な性質が保たれるような条件を同定する。
• 滑らかなシンプレクティック多様体の有限被覆として得られる、特異な非分解シンプレクティック多様体の新規例を構成する。
• これらの例は、滑らかな多様体のコホモロジー格子として実現できないベイルヴィル＝ボゴモロフ格子を有する。これにより、既知の格子の範囲が拡張される。
• この構成により、特異なシンプレクティック多様体が、滑らかな場合と同一の符号型と形式を持つ積分コホモロジー格子を有し得ることが示される。
• 結果として、商構成法がベイルヴィル＝ボゴモロフ格子に必要な本質的な格子論的不変量を保つことが示された。