[論文レビュー] On the Interval [n,2n]: Primes, Composites and Perfect Powers

Germán Paz|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正の整数 $n$ に対して、区間 $[n, 9(n+3)/8]$ に少なくとも1つの素数が存在することを証明している。これはDusartの素数密度境界と計算的検証を用いて達成された。この結果を基に、$[n, 2n]$ 内での素数、合成数、完全乗数の分布に関する新たな定量的保証を確立し、十分に大きな $n$ に対して、特定の $[n, 2n]$ の部分区間に少なくとも4つの素数と少なくとも1つの完全乗数が存在することを示している。

ABSTRACT

In this paper we show that for every positive integer $n$ there exists a prime number in the interval $[n,9(n+3)/8]$. Based on this result, we prove that if $a$ is an integer greater than 1, then for every integer $n>14.4a$ there are at least four prime numbers $p$, $q$, $r$, and $s$ such that $n14.4/(|\sqrt[m]{1.5}|-1)^m$ there exist a positive integer $a$ and a prime number $s$ such that $n14.4/(|\sqrt[m]{2}|-|\sqrt[m]{1.5}|)^m$ there exist a prime number $r$ and a positive integer $a$ such that $n

研究の動機と目的

• 正の整数 $n$ に対して、区間 $[n, 9(n+3)/8]$ に少なくとも1つの素数が存在することを証明することで、Bertrand-Chebyshev定理の予想された改良版を検証すること。
• この素数の存在に関する結果を用いて、区間 $[n, 2n]$ 内での素数および完全乗数の分布に関する定量的境界を導出すること。
• El Bachraoui や Loo のような古典的な素数区間に関する結果を一般化し、$[n, 2n]$ の指定された部分区間内に複数の素数および完全乗数が存在することを証明すること。
• 十分に大きな $n$ に対して、$[n, 2n]$ の定義された部分区間に少なくとも4つの素数と1つの完全乗数が存在することを保証する、明示的かつ計算可能な閾値（$a$ と $m$ の関数として）を提供すること。

提案手法

• すべての $n \to \text{正の整数}$ に対して、区間 $[n, 9(n+3)/8]$ に少なくとも1つの素数が存在することを示す。具体的には、$n \to 3275$ のとき、$[n, (1 + 1/(2(\text{ln } n)^2))n]$ というDusartの区間を含むことを示し、残りのケースについては計算的検証を行う。
• Dusartの1998年および2010年の素数密度に関する結果を用いて、$n \to 3275$ のとき、$[n, (1 + 1/(2(\text{ln } n)^2))n]$ が少なくとも1つの素数を含むことを確立し、これは $[n, 9(n+3)/8]$ に含まれる。
• 区間解析と対数関数および根関数の漸近的比較を用いて、$n$ の増大と $[n, 2n]$ 内の完全乗数 $a^m$ および素数の間の間隔との関係を関連付ける。
• 不等式を用いて、$n > 14.4 / (|\text{root}_m(2)| - |\text{root}_m(1.5)|)^m$ となる $n$ の境界を導出し、この条件下で $n < r < 3n/2 < a^m < 2n$ を満たす素数 $r$ と完全乗数 $a^m$ が存在することを示す。
• 不等式 $1/(\text{root}_m(2) - \text{root}_m(1.5))^m > 1$ を適用して、導出された閾値が14.4を超えることを示し、14.4を安全な下限として使用することが正当化されることを示す。
• 区間 $[n, 9(n+3)/8]$ in に素数が存在することと、$[n, 3n/2]$ および $[3n/2, 2n]$ への区間分割を組み合わせることで、各部分区間内に複数の素数および完全乗数が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての正の整数 $n$ に対して、区間 $[n, 9(n+3)/8]$ に少なくとも1つの素数が存在するか？
• RQ2 与えられた整数 $a > 1$ に対して、$[n, 2n]$ に $n < ap < 3n/2 < aq < 2n$ および $n < r < 3n/2 < s < 2n$ を満たす少なくとも4つの素数 $p, q, r, s$ が存在する最小の $n$ は何か？
• RQ3 与えられた $m$ に対して、$[n, 2n]$ に少なくとも1つの完全乗数 $a^m$ と素数 $s$ が存在し、$n < a^m < 3n/2 < s < 2n$ を満たす最小の $n$ は何か？
• RQ4 $[n, 2n]$ に少なくとも1つの素数 $r$ と1つの完全乗数 $a^m$ が存在し、$n < r < 3n/2 < a^m < 2n$ を満たす最小の $n$ は何か？
• RQ5 古典的なBertrand-Chebyshev定理は、明示的かつ計算可能な閾値を用いて、$[n, 2n]$ の部分区間に複数の素数および完全乗数を保証するように強化可能か？

主な発見

• すべての正の整数 $n$ に対して、区間 $[n, 9(n+3)/8]$ に少なくとも1つの素数が存在する。これは $n \to 3275$ のときDusartの区間へ埋め込むことで証明され、$n < 3275$ の場合は計算的検証により確認された。
• すべての整数 $a > 1$ に対して、$n > 14.4a$ ならば、$n < ap < 3n/2 < aq < 2n$ および $n < r < 3n/2 < s < 2n$ を満たす少なくとも4つの素数 $p, q, r, s$ が存在する。これはBertrandの補題の定量的改良を確立する。
• すべての正の整数 $m$ に対して、$n > 14.4 / (|\text{root}_m(1.5)| - 1)^m$ ならば、正の整数 $a$ と素数 $s$ が存在し、$n < a^m < 3n/2 < s < 2n$ を満たす。これにより、上部部分区間に完全乗数と素数が存在することが保証される。
• すべての正の整数 $m$ に対して、$n > 14.4 / (|\text{root}_m(2)| - |\text{root}_m(1.5)|)^m$ ならば、素数 $r$ と正の整数 $a$ が存在し、$n < r < 3n/2 < a^m < 2n$ を満たす。これにより、中上部部分区間に素数と完全乗数が存在することが保証される。
• $14.4 / (|\text{root}_m(2)| - |\text{root}_m(1.5)|)^m$ はすべての正の整数 $m$ に対して14.4より大きいことが常に成り立つため、導出された不等式において14.4を安全な下限として使用することが正当化される。
• すべての $m$ に対して $1 / (|\text{root}_m(2)| - |\text{root}_m(1.5)|)^m > 1$ が成り立つことが確認された。これにより、導出された境界が意味的かつ非自明であることが保証される。