[論文レビュー] On the irreducibility of associated varieties of W-algebras

Tomoyuki Arakawa, Anne Moreau|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、W代数の関連多様体の不約性を検討し、特にW代数の関連多様体として現れるべき冪零Slodowy切断に注目する。関連多様体が有限個のシンプレクティック葉しか持たない既知のすべてのケースにおいて、これらの多様体の不約性を確認し、型B_rの単純なアフィン頂点代数がレベル-2である場合の新しい頂点代数の例を提示する。その関連多様体は短い冪零軌道の閉包であり、不約かつリッスであることを証明する。

ABSTRACT

We investigate the irreducibility of the nilpotent Slodowy slices that appear as the associated variety of W-algebras. Furthermore, we provide new examples of vertex algebras whose associated variety has finitely many symplectic leaves.

研究の動機と目的

• 関連多様体が有限個のシンプレクティック葉しか持たない場合に、W代数の関連多様体の不約性を検証すること。
• W代数の関連多様体として現れる冪零Slodowy切断の不約性予想を確認すること。
• 関連多様体に有限個のシンプレクティック葉を持つ新しい頂点代数の例を構成すること。
• Drinfeld-Sokolov還元における関連多様体の構造に関する[AM16]の予想を証明すること。
• 型B_rの単純なアフィン頂点代数がレベル-2である場合の関連多様体が、短い冪零軌道の閉包であることを示すこと。

提案手法

• 冪零Slodowy切断を、冪零軌道の閉包とSlodowy切断の交わりとして定義し、その幾何学的性質を分析する。
• リー代数および冪零軌道の表現論からの深い結果を応用し、これらの切断の不約性を同定する。
• Drinfeld-Sokolov還元関手を用いて、頂点代数の関連多様体とSlodowy切断の幾何学を関連付ける。
• Jantzenの単純性基準を適用し、特定のコホロジー加群が単純であることを証明し、それによってリッスな頂点代数が得られることを示す。
• ZhuのC2代数構成を用いて、関連多様体をパオアソン代数のスペクトルとして実現する。
• 頂点代数の関連多様体がシンプレクティック葉の有限個の和集合であることに着目し、G-不変部分多様体を研究することで不約性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関連多様体が有限個のシンプレクティック葉しか持たない場合、W代数の関連多様体は不約か？
• RQ2 どの冪零Slodowy切断がW代数の関連多様体として現れ、それらは不約か？
• RQ3 レベル-2における単純なアフィン頂点代数のDrinfeld-Sokolov還元は、リッスな頂点代数をもたらすか？
• RQ4 型B_rの単純なアフィン頂点代数がレベルk = -2である場合、その関連多様体は短い冪零軌道の閉包として特定できるか？
• RQ5 レベル-2におけるDrinfeld-Sokolov還元によって得られる頂点代数の関連多様体は不約か？

主な発見

• 型B_rの単純なアフィン頂点代数がレベル-2である場合の関連多様体は、短い冪零軌道の閉包であり、不約である。
• この頂点代数の短い冪零軌道におけるDrinfeld-Sokolov還元により、単純かつリッスな頂点代数が得られ、その型は中心電荷c_{2,2r-3}のバーラシン型代数に同型である。
• レベル-2におけるDrinfeld-Sokolov還元によって構成されたW代数の関連多様体は不約であり、短い冪零軌道の閉包と一致する。
• 関連多様体が有限個のシンプレクティック葉しか持たない既知のすべてのケースにおいて、その不約性が確認され、不約性予想を支持する。
• [AM16, 予想2]の予想が証明され、有限個のシンプレクティック葉を持つ頂点代数の新たなクラスが確立された。
• レベルk = -2における頂点代数V_k(so_{2r+1})の関連多様体がG-不変であり、短い冪零軌道の閉包に等しいことが示され、不約性が確認された。