[論文レビュー] On the Iwasawa Main conjecture of abelian varieties over function fields

King Fai Lai, Ignazio Longhi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、関数体上のアーベル多様体に対するIwasawa主予想の特別なケースを証明し、捩れたHasse-Weil L関数を補間する p-進 L関数を確立し、アーベル多様体のSelmer群とその双対の間の特徴的イデアルの等式を満たす。主な結果は、Iwasawa理論における一般化された代数的関数方程式を用いて、A とその双対 A^t の双対Selmer群の擬似同型を示すことである。

ABSTRACT

We study a geometric analogue of the Iwasawa Main Conjecture for abelian varieties in the two following cases: constant ordinary abelian varieties over $Z_p^d$-extensions of function fields ($d\geq 1$) ramified at a finite set of places, and semistable abelian varieties over the arithmetic $Z_p$-extension of a function field. One of the tools we use in our proof is a pseudo-isomorphism relating the duals of the Selmer groups of $A$ and its dual abelian variety $A^t$. This holds as well over number fields and is a consequence of a quite general algebraic functional equation.

研究の動機と目的

• 関数体上の定数普通アーベル多様体に対するZ_p^d-拡張および半安定アーベル多様体に対する算術的Z_p-拡張における、関数体上のアーベル多様体に対するIwasawa主予想を2つの主要なケースで確立すること。
• グローバル体上のアーベル多様体のSelmer群に対して、一般化された代数的関数方程式を証明し、A とその双対 A^t の双対Selmer群を関連付けること。
• Iwasawa代数 Q(Λ) 内に存在する p-進 L関数 L_A/L ∈ Q(Λ) を構成し、臨界点における捩れたHasse-Weil L値を補間すること。
• 潜在的に普通の還元の下で、A の双対Selmer群の特徴的イデアルが A^t のそれと等しくなることを、擬似同型を用いて示すこと。

提案手法

• Iwasawa理論における一般化された代数的関数方程式から導かれる、アーベル多様体 A とその双対 A^t の双対Selmer群の間の擬似同型を用いる。
• 制御された Γ-システムとペアリング理論を用い、Selmer群をシントムコhomologyおよびガロアコhomologyと関連付ける。
• Frobenius作用とZ_p^d-拡張におけるIwasawa理論を用いて、Selmer群の構造を分析する。
• Iwasawa代数 Λ = Z_p[[Γ]] 及びその分数体 Q(Λ) を用いて、p-進L関数を定義・研究する。
• 任意の Γ の連続的特徴指標 ω に対して、L_T(A,ω,1) を補間する p-進L関数 L_A/L ∈ Q(Λ) を構成する。
• Λ 上の反対称的自己同型 λ ↦ λ^# を用いて、A と A^t のSelmer群の特徴的イデアルを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上の定数普通アーベル多様体が Z_p^d-拡張に属する場合、Iwasawa主予想は成り立つか？
• RQ2 Iwasawa代数内に、関数体上のアーベル多様体の捩れたHasse-Weil L値を補間する p-進L関数が存在するか？
• RQ3 Iwasawaモジュール設定において、アーベル多様体 A とその双対 A^t の双対Selmer群はどのように関連しているか？
• RQ4 Iwasawa代数内での関数方程式を用いて、A の双対Selmer群の特徴的イデアルを A^t のそれと関連付けることができるか？
• RQ5 関数体設定において、p-進L関数とSelmer群の特徴的要素の正確な関係は何か？

主な発見

• 本稿では、任意の連続的特徴指標 ω: Γ → C^× に対して、ω(L_A/L) が L_T(A,ω,1) に比例する p-進L関数 L_A/L ∈ Q(Λ) を構成し、明示的な調整係数 *_{A,T,ω} が存在するが、半安定の場合には 1 に等しい。
• 定数普通アーベル多様体の場合、p-進L関数は L_A/L ≡ ⋆_{A,L} · c_{A/L} mod Λ^× を満たし、⋆_{A,L} = 1 であるため、p-進L関数は特徴的イデアルの生成元である。
• 算術的Z_p-拡張における半安定アーベル多様体の場合、p-進L関数は調整係数なしに捩れたL値を補間し、特徴的要素 c_{A/L} は p-進L関数と同じイデアルを生成する。
• 分岐した場所で潜在的に普通の還元の下で、双対Selmer群 X_p(A/L) は X_p(A^t/L) に擬似同型である、すなわち X_p(A/L) ∼ X_p(A/L)^# ∼ X_p(A^t/L) であり、これはSelmer群の関数方程式を証明する。
• X_p(A/L) の特徴的イデアルは χ(X_p(A/L)) = χ(X_p(A/L))^# = χ(X_p(A^t/L)) を満たし、これはSelmer群がねじれでない場合にも成り立つ。
• ねじれでない例では、p-進L関数は恒等的に 0 に等しく、特徴的イデアルが 0 であるという予想と整合的である。