[論文レビュー] On the K-theory stable bases of the Springer resolution

Changjian Su, Gufang Zhao+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、アフィンヘッケ代数作用とルート多項式を用いて、$T^*G/B$ 上の安定基底に関するK理論的制限公式を確立する。これは、Kostant-Kumar のねじれた群代数による代数的記述を提供し、部分フラッグ多様体におけるK理論的安定基底の制限公式を証明し、Langlands双対の非分岐主系列表現におけるカスエルマン基底と安定基底を結びつけることで、それらの間の遷移行列の閉じた公式を導出する。

ABSTRACT

Cohomological and K-theoretic stable bases originated from the study of quantum cohomology and quantum K-theory. Restriction formula for cohomological stable bases played an important role in computing the quantum connection of cotangent bundle of partial flag varieties. In this paper we study the K-theoretic stable bases of cotangent bundles of flag varieties. We describe these bases in terms of the action of the affine Hecke algebra and the twisted group algebra of Kostant-Kumar. Using this algebraic description and the method of root polynomials, we give a restriction formula of the stable bases. We apply it to obtain the restriction formula for partial flag varieties. We also build a relation between the stable basis and the Casselman basis in the principal series representations of the Langlands dual group. As an application, we give a closed formula for the transition matrix between Casselman basis and the characteristic functions.

研究の動機と目的

• スプリンガー解体 $T^*G/B$ のコhomological安定基底のK理論的類似を構築すること。
• フラッグ多様体の余接 bundle 上のK理論的安定基底の制限公式を導出すること。
• Langlands双対群の非分岐主系列表現におけるK理論的安定基底とカスエルマン基底との関係を確立すること。
• K理論におけるカスエルマン基底と特性関数の間の遷移行列の閉じた表現を提供すること。
• ルート多項式法をK理論に一般化し、ヘッケ代数作用を用いた安定基底の代数的計算を可能とすること。

提案手法

• 著者たちは、剛性技術を用いて安定基底上のアフィンヘッケ代数作用を計算し、Kostant-Kumar のねじれた群代数による代数的特徴付けを可能にする。
• 安定基底は、$K_{G imes bC^*}(Z)$ であるG-可換K理論の作用を用いて定義され、これはアフィンヘッケ代数に同型である。
• 制限公式はルート多項式を用いて導出され、Billey–Graham–Willems の方法をK理論に一般化し、$q$-変形と $e^\alpha$-項を含む明示的表現が得られる。
• 方法には、$T_w'$ と $T_w$ 演算子を用いた制限の計算が含まれ、$q^{-\ell(w)/2}$ および $q^{\ell(w_{0}w)/2}$ の正規化係数が関与する。
• カスエルマン基底との関係は、Whittaker汎関数と $\tilde{L}_\tau$ 写像を介して確立され、これは同変Euler特徴を $K$-理論的Whittaker関数に一致させる。
• カスエルマン基底と特性関数の間の遷移行列は、$\tilde{\Gamma}_\tau(\mu)$ 構成と $\tilde{W}_\tau(\mu)$ 汎関数を用いて計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンヘッケ代数とねじれた群代数を用いて、$T^*G/B$ のK理論的安定基底をどのように代数的に記述できるか？
• RQ2 部分フラッグ多様体上のK理論的安定基底の制限公式は何か？ これはコhomologicalの場合をどのように一般化するか？
• RQ3 K理論的安定基底は、Langlands双対群の非分岐主系列表現におけるカスエルマン基底とどのように関係するか？
• RQ4 カスエルマン–シャリカの公式のK理論的解釈は何か？ そして、Whittaker関数とどのように関連するか？
• RQ5 同変 $K$-理論におけるカスエルマン基底と特性関数の間の遷移行列に対して、閉じた公式を導出できるか？

主な発見

• K理論的安定基底 $\operatorname{stab}_{\pm}(w)$ はアフィンヘッケ代数の作用によって生成される：$\operatorname{stab}_{+}(w) = q^{-\ell(w)/2} T_{w^{-1}}' \cdot \operatorname{stab}_{+}(e)$ および $\operatorname{stab}_{-}(w) = q^{\ell(w_{0}w)/2} (T_{w_{0}w})^{-1} \cdot \operatorname{stab}_{-}(w_0)$。
• 制限公式が確立された：$\operatorname{stab}_{+}(w)|_v = q^{-\ell(w)/2} v(a^{+}_{w^{-1},v^{-1}}) \prod_{\alpha>0}(1-e^{\alpha})$、$\operatorname{stab}_{-}(w)$ に対しても $K^{\tau}_{w,v}$ と $q$-変形項を含む類似の表現が得られる。
• カスエルマン基底と特性関数の間の遷移行列は、$\tilde{\Gamma}_\tau(\mu)$ と $q$-変形された $e^{\alpha}$-項を含む閉じた公式で与えられる。
• $K$-理論的Whittaker汎関数 $\tilde{L}_\tau$ は $\prod_{\beta>0}(1-q^{-1}e^{\beta}(\tau)) \cdot p_*(-\otimes \mathcal{O}(\rho))$ として定義され、$K$-理論的Whittaker関数の類似に一致する。
• カスエルマン–シャリカの公式は $K$-理論で解釈される：$\tilde{W}_\tau(\mu) = W_\tau(\varpi^\mu)$ であり、古典的公式の $K$-理論的版が確認される。
• カスエルマン基底と特性関数の間の遷移行列は、明示的に $q^{\dim G/B} \delta_B(\varpi^\mu)^{1/2} \sum_w e^{w\mu}(\tau) \prod_{\beta>0} \frac{1 - q^{-1} e^{-w\beta}(\tau)}{1 - e^{-w\beta}(\tau)}$ として計算される。