[論文レビュー] On the Law of Large Numbers for Discrete Fourier Transform

Na Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、有限の $p$ 階モーメントをもつ同一分布に従う確率変数の離散フーリエ変換（DFT）における強大数法則の収束速度を確立する。$1 < p < 2$ の場合を対象とし、$P(|X_n| \geq x) \leq P(|X_1| \geq x)$ を満たす弱い依存性を持つ系列に対しても結果を拡張し、ほとんどすべての $t \in [-\pi, \pi)$ に対して $S_n(t)/n^{1/p} \to 0$ がほとんど確実に成り立つことを示す。さらに、切断法とマルティンゲール技法を用いて、明確なモーメント条件と尾確率の評価を得た。

ABSTRACT

We establish the rate of convergence in the strong law of large numbers of discrete Fourier Transform of the identically distributed random variables with finite moment of order p, where 1

研究の動機と目的

• 依存する確率変数の離散フーリエ変換への強大数法則の拡張を図ること。
• 有限の $p$ 階モーメント条件の下で、$S_n(t)/n^{1/p}$ のほとんど確実な収束速度を確立すること。
• i.i.d. 列を超えて、確率的優位性を満たす弱い依存性を持つ系列への結果の一般化。
• 部分 DFT 和の最大値に対するモーメントに基づく尾確率の境界を提供すること。
• バウム＝カッツとストイカの結果を Fubini の定理と Carleson 型収束議論を用いて統一すること。

提案手法

• 大きな偏差を制御するため、$Y_k = X_k I\{|X_k| \leq k\}$ を用いた確率変数の切断。
• ほとんどすべての $t$ に対して $\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{ikt}Y_k}{k}$ のほとんど確実収束を保証する Carleson の定理の適用。
• Kronecker の補題を用いて、ほとんどすべての $t$ に対して $\frac{1}{n}S_n^*(t) \to 0$ となるほとんど確実収束を導出。
• 尾確率解析のため、$S_k(t)$ を切断済み成分 ($S_k'$) と剰余成分 ($S_k''$) に分解。
• $t \in [-\pi, \pi)$ における積分と級数の交換のため、Fubini の定理の適用。
• モーメントの有界性と不等式（Markov, Cauchy-Schwarz）を用いて、$\mathbb{E}[|S_k'|^2]$ と $\mathbb{E}[|S_k''|]$ を制御。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一分布に従う確率変数の離散フーリエ変換は、強大数法則を満たすか？
• RQ2 有限の $p$ 階モーメント条件の下で、ほとんどすべての $t \in [-\pi, \pi)$ に対して $S_n(t)/n$ の収束速度は何か？
• RQ3 $P(|X_n| \geq x) \leq P(|X_1| \geq x)$ を満たすが、$X_n$ が同一分布でない系列に対しても結果を拡張できるか？
• RQ4 どのようなモーメント条件が、$\sum_n n^{p/r - 2} P(\max_{k \leq n} |S_k(t)| > \epsilon n^{1/r})$ の和分可能性を保証するか？
• RQ5 DFT の挙動は、古典的和と比較して、ほとんど確実収束およびモーメントの収束速度においてどのように異なるか？

主な発見

• もし $1 < p < 2$ かつ $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ ならば、ほとんどすべての $t \in [-\pi, \pi)$ およびすべての $1 \leq r \leq p$ に対して $\sum_{n=1}^\infty n^{p/r - 2} P(\max_{1 \leq k \leq n} |S_k(t)| > \epsilon n^{1/r}) < \infty$ が成り立つ。
• 同じモーメント条件の下で、ほとんどすべての $t \in [-\pi, \pi)$ に対して $S_n(t)/n^{1/p} \to 0$ がほとんど確実に成り立つ。
• もし $\mathbb{E}|X_1| < \infty$ ならば、同一分布でなくても、$P(|X_n| \geq x) \leq P(|X_1| \geq x)$ を満たす限り、ほとんどすべての $t$ に対して $S_n(t)/n \to 0$ がほとんど確実に成り立つ。
• 確率的優位性を満たす弱い依存性を持つ系列に対しても、同じ収束速度と尾確率の境界が成り立つ。
• 証明は、切断、Carleson の定理、Fubini の定理、および $\mathbb{E}[|X_k|^2 I\{|X_k| \leq n^{1/r}\}]$ と $\mathbb{E}[|X_k| I\{|X_k| > n^{1/r}\}]$ を用いたモーメント推定に依存する。
• 和分可能性条件は、Borel-Cantelli の補題と最大値不等式の議論により、ほとんど確実収束を示す。最終的な結果は、Fubini の定理と $t$ に関する級数の可積分性を用いて導出される。