[論文レビュー] On the local well-posedness of the Prandtl and the hydrostatic Euler equations with multiple monotonicity regions

Igor Kukavica, Nader Masmoudi+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Prandtl方程式および流体圧縮Euler方程式の局所的適切性を、新たな初期データクラスにおいて確立する。そのクラスとは、法線方向に複数の単調性領域を持つ関数に加え、その補集合で解析的であるものである。主な結果は、これらの一般化された単調性および解析的条件のもとで、局所的解の存在と一意性が保証されることであり、従来の解析的または単一単調性の設定を超えた適切性理論の拡張が達成されたことである。

ABSTRACT

We find a new class of data for which the Prandtl boundary layer equations and the hydrostatic Euler equations are locally in time well-posed. In the case of the Prandtl equations, we assume that the initial datum $u_0$ is monotone on a number of intervals (on some strictly increasing on some strictly decreasing) and analytic on the complement and show that the local existence and uniqueness hold. The same is true for the hydrostatic Euler equations except that we assume this for the vorticity $ω_0=\partial_y u_0$.

研究の動機と目的

• Prandtl方程式および流体圧縮Euler方程式の局所的適切性理論を、従来の解析的または単一単調性の設定を超えて拡張すること。
• Sobolev空間における不適切性の根本的問題に、区分的単調性を示す初期データの新クラスを導入することで対処すること。
• 初期速度が有限個の区間で単調であり、残りの領域で解析的である場合に、Prandtl方程式の局所的存在と一意性を証明すること。
• 同様の仮定を初期渦度（速度ではなく）に適用した場合に、流体圧縮Euler方程式に対しても同様の適切性結果が成り立つように拡張すること。
• 従来の結果よりも制約の少ない仮定のもとで境界層および流体圧縮流れを解析するための新フレームワークを提供すること。

提案手法

• Prandtl方程式のための初期データの新クラスを導入する：$ u_0 $ は $ y $ 方向で有限個の区間で単調であり、その補集合で実解析的である。
• 流体圧縮Euler方程式の場合、渦度 $ abla imes u_0 = ho_0 $ が有限個の区間で単調であり、残りの領域で解析的であると仮定する。
• 解の時間発展を制御するために、$ ho $ を渦度として $ rac{ ho^2}{ ho_y} $ を含む重み付きエネルギー推定を用いる。
• 境界層特異性を避けるために、時刻に依存する区間 $ I_t = (Mt, 1 - Mt) $ を定義し、解析を局所化する。
• 重み付きエネルギー $ X(t) = rac{1}{2} igint_{I_t imes (0,1)} rac{ ho^2}{ ho_y} dx dy $ に対する微分不等式を導出し、$ t $ が小さいとき $ X'(t) o 0 $ となることを示す。
• 部分積分とエネルギー推定を用いて非線形項および境界寄与項を制御し、$ t o 0 $ の小さな時間においてエネルギーが有界に保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期速度が単一の単調性区間ではなく、複数の単調性領域を持つ場合、Prandtl方程式は局所的に適切か？
• RQ2 渦度に同様の仮定を置いた場合、適切性結果は流体圧縮Euler方程式へも拡張可能か？
• RQ3 $ x $ 変数における標準的な解析的要請を緩和しても、局所的適切性は保たれるか？
• RQ4 単調性（$ y $ 方向）と補集合における解析性を組み合わせた解の枠組みを構築することは可能か？ これにより、完全な解析的要請を回避できるか？
• RQ5 Crocco型変換および重み付きエネルギー推定は、複数の単調性領域を持つ解の安定化に果たす役割は何か？

主な発見

• 初期データ $ u_0 $ が $ y $ 方向で有限個の区間で単調であり、その補集合で解析的である場合、Prandtl方程式は局所的に適切である。
• 初期渦度 $ ho_0 = abla imes u_0 $ が有限個の区間で単調であり、残りの領域で解析的である場合、流体圧縮Euler方程式は局所的に適切である。
• 解の制御に重み付きエネルギー関数 $ X(t) = rac{1}{2} igint_{I_t imes (0,1)} rac{ ho^2}{ ho_y} dx dy $ を用い、$ t $ が小さいとき $ X'(t) o 0 $ を満たす。
• この方法により $ X(t) o 0 $ （$ t o 0 $ のとき）が保証され、解が小さな時間区間内で有界かつ一意であることが示される。
• 証明は、特に $ x = Mt $ および $ x = 1 - Mt $ における境界項の制御を慎重に行い、エネルギー推定を維持する部分積分の技法に依存している。
• 一意性は同じエネルギー法により確立され、任意の2つの解が時間区間 $ (0, t_0) $（$ t_0 = 1/C_0 $）で一致することを示している。