[論文レビュー] On the Markov property of strong solutions to SDE with generalized coefficients

Ludmila L. Zaitseva|ArXiv.org|Sep 11, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、超平面における局所時間を含む一般化係数を有する多次元確率微分方程式（SDE）の強解に対するマルコフ性の完全な証明を提供する。ウィenerノイズと局所時間に依存するマルティンゲールを同時に扱える適切なフィルトレーションを構成することにより、著者たちは解がポートェンコの意味での一般化拡散過程であることを確立し、非マルコフ的で非独立増分を有する多次元へのスケュー・ブラウン運動の結果を拡張する。

ABSTRACT

We show the complete proof of the Markov property of the strong solution to a multidimensional SDE whose coefficients involve local time on a hyperplane of the unknown process.

研究の動機と目的

• 超平面における局所時間項を含む多次元SDEの強解に対するマルコフ性の完全な証明を提供すること。
• 既存の文献においてマルコフ性が主張されているが、特に非独立増分を有する多次元ケースでは厳密な証明が欠落しているというギャップを埋めること。
• ウィナ過程と局所時間に依存するマルティンゲールの両方に適応するフィルトレーションを構築し、同時に可測性と適応性を保証すること。
• 解をポートェンコの意味での一般化拡散過程として特徴づけること。その際、一般化された拡散係数と拡散係数を用いる。

提案手法

• ウィナ過程 $w(t)$ の自然フィルトレーション ${\cal F}_t^w$ と、第二の独立なウィナ過程 $\widetilde{w}(t)$ に基づく新たなフィルトレーション $\widetilde{{\cal F}}_t$ を組み合わせたフィルトレーション ${\cal M}_t = {\cal F}_t^w \vee \widetilde{{\cal F}}_t$ を構築する。
• 局所時間 $\eta_t$ を $x^1(t)$ の 0 における 1 次元成分のものとするとき、$\zeta(t) = \widetilde{w}(\eta_t)$ を定義し、${\cal M}_t$ に関して平方可積分なマルティンゲールであり、二次変動が $\eta_t$ に等しいことを証明する。
• ステップ関数近似による極限論法を用いて、$\zeta(t)$ が ${\cal M}_t$-可測であり、SDE が適切に定義可能であるために必要な性質を満たすことを示す。
• ウィナ過程の独立増分性と局所時間関数のマルコフ性を活用した条件付き独立性の議論により、強いマルコフ性を証明することでマルコフ性を確立する。
• 無限小生成作用素の条件を満たすことで解を一般化拡散過程として特徴づける：第四モーメントが $t \downarrow 0$ のとき消えること、漂移が $q\nu + \alpha(x^S)$ であること、拡散行列が $I + \beta(x^S)$ であること。これらはすべて超平面 $S$ 上に特異的に支持される。
• ウィナ過程 $w(t)$、$\eta_t$、$\zeta(t)$ の増分の同時分布を用い、条件付き期待値技法を適用することで、シリンダ集合における極限手続きを通じてマルコフ性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所時間項を含む多次元SDEの強解は、マルコフ過程を満たすか？
• RQ2 ウィナ過程と局所時間に依存するマルティンゲールの両方が適応的であり、かつ解がマルコフ的であるようなフィルトレーションを構築可能か？
• RQ3 マルティンゲールノイズが独立増分を持たない場合、多次元ケースにおいてマルコフ性を厳密に証明するにはどうすればよいか？
• RQ4 特異な漂移および拡散係数を有する場合、解がポートェンコの意味での一般化拡散過程としてどの程度適合するか？
• RQ5 局所時間が超平面に存在する場合、解過程の無限小特性（漂移および拡散）はどのように特定され、それらが局所時間の存在をどのように反映するか？

主な発見

• 局所時間を持つ超平面におけるSDEの強解は、構築したフィルトレーション ${\cal M}_t$ に関してマルコフ過程であることが示され、長年の文献的ギャップが解消された。
• $\zeta(t) = \widetilde{w}(\eta_t)$ は、二次変動が $\eta_t$ に等しく、${\cal M}_t$ に関して適応的で平方可積分なマルティンゲールである。
• 解は一般化拡散過程の条件を満たす：$t \downarrow 0$ のとき第四モーメントが消え、漂移は $q\nu + \alpha(x^S)$、拡散行列は $I + \beta(x^S)$ であり、両者とも超平面 $S$ 上に特異的に支持される。
• 無限小漂移は $\int_S \varphi(z)(q\nu + \alpha(z), \theta) d\sigma_z$ で与えられ、局所時間項に起因する方向的バイアスが現れる。
• 無限小分散は $\int_S (\beta(z)\theta, \theta) \varphi(z) d\sigma_z + (\theta, \theta) \int_{\mathbb{R}^d} \varphi(z) dz$ で与えられ、$S$ 上に特異成分を持つ拡散行列を示している。
• 証明は、ウィナ過程の独立増分構造と局所時間関数のマルコフ性を活用した、シリンダ集合における厳密な条件付き期待値の議論により、マルコフ性が確立された。