[論文レビュー] On the mathematical sense of renormalization

Alexander Roi Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子場の理論における正規化を、古典的場理論のハミルトニアンのポアソン代数を量子化することの自然な結果として提示する。正則および特異なハミルトニアンのポアソン代数を構成し、変形量子化が標準的なモーリー積を特異汎関数へ拡張できないことを示すことにより、正規化は、量子埋め込みが古典的記号写像と可換でないことに起因する、古典的非局所ハミルトニアンからそれ自身への非正則写像として導かれる。

ABSTRACT

We place the renormalization procedure in quantum field theory into the familiar mathematical context of quantization of Poisson algebras. The Poisson algebra in question is the algebra of classical field theory Hamiltonians constructed in a previous paper (arXiv:1008.3333). Its quantum deformations presumably contain (non-canonically) the algebra of functional differential operators. We explain that this picture contains renormalization as a natural ingredient.

研究の動機と目的

• 正規化の量子場理論における厳密な数学的基盤を提供すること。
• 正規化手順をポアソン代数の変形量子化の枠組みに位置づけること。
• 場理論における特異ハミルトニアンを量子化する際、正規化が自然に生じることを示すこと。
• 関数微分作用素の量子代数への非正則埋め込みの役割を明確にすること。
• 正規化の数学的本質として、古典的非局所ハミルトニアンからそれ自身への写像を確立すること。

提案手法

• シュワーツ空間上の汎関数として、第一階の関数的微分が緩和分布空間の双対空間に属するハミルトニアンのトポロジカルなポアソン代数 Symb を構成する。
• 関数的微分表現における滑らかで速やかに減少する核を持つハミルトニアンを正則ハミルトニアンと定義し、Symb^reg と表記する。これは Symb の稠密なポアソン部分代数をなす。
• 標準的なモーリー積または微分作用素積が Symb^reg を量子化するが、高階微分の分布的ペアリングにより Symb 全体へは拡張できないことを示す。
• Symb の完全な量子化は、QFT の手法を用いて構成されねばならず、これにより (Symb^reg, *_{Diff}) ↪ (Symb, *) という非正則埋め込み R が得られる。
• この埋め込みの逆写像として正規化写像を導出し、H_Λ ↦ R^{-1}(H_Λ) と表記する。これは、Λ → ∞ に近づく特異極限に近づく族に対して発散する。
• 量子埋め込みが古典的記号写像と可換でないことに起因する正規化写像の起源を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子場理論における正規化は、一貫した代数的枠組み内での数学的演算としてどのように理解できるか？
• RQ2 特異ハミルトニアンは、古典的場理論の変形量子化において果たす役割は何か？
• RQ3 標準的なモーリー積が、古典的ハミルトニアン全体の空間へ拡張できないのはなぜか？そして、何に置き換わるのか？
• RQ4 正則ハミルトニアンの量子代数への非正則埋め込みは、正規化写像をどのように生じさせるか？
• RQ5 古典的および量子ハミルトニアン代数の観点から、正規化写像の明確な数学的定義は何か？

主な発見

• 正規化は、量子埋め込みが古典的記号を保存しないことに起因する、古典的非局所ハミルトニアンからそれ自身への自然な写像として生じる。
• 古典的ハミルトニアンのポアソン代数 Symb には正則および特異な汎関数が含まれており、正則なものは稠密な部分代数をなす。
• 標準的なモーリー積は、Symb^reg のみを量子化可能だが、高階微分における分布的ペアリングのため Symb 全体へは拡張できない。
• Symb の完全な量子化には、標準的な変形量子化を超える新しい手法が必要であり、おそらくQFTの技術を含むものとなる。
• 正規化写像は、特異極限に近づく正則ハミルトニアンの族 H_Λ に対して R^{-1}(H_Λ) と定義され、Λ → ∞ のとき発散する。
• 量子埋め込みの非一意性が、非正則的ではあるが数学的に明確に定義された正規化手順を生じさせる。