[論文レビュー] The Poisson algebra of classical Hamiltonians in field theory and the problem of its quantization

Alexander Roi Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、シュワーツ空間上の滑らかで急速に減少する汎関数を用いて、場の理論における古典的ハミルトニアンのポアソン代数を構成し、変分微分とポアソン括弧を用いてその代数的構造を確立する。さらに、ℏに関するフィルター付きの結合的代数をℏ = 0で古典的代数に還元し、ℏのオーダーでポアソン括弧を再現するような、量子化問題を定式化する。主要な結果として、二次量子代数における交換関係の計算から、δ(0)δ′(x) = 2δ′(0)δ(x)という非自明な恒等式が導出される。

ABSTRACT

We construct the commutative Poisson algebra of classical Hamiltonians in field theory. We pose the problem of quantization of this Poisson algebra. We also make some interesting computations in the known quadratic part of the quantum algebra.

研究の動機と目的

• 滑らかで急速に減少するシュワーツ空間上の汎関数を用いて、場の理論における可換なポアソン代数として古典的ハミルトニアンを定義すること。
• 特に、演算子順序付けとデルタ関数特異性に起因する発散に起因する、そのようなハミルトニアンの量子化における根本的障害を特定すること。
• ℏに関するフィルター付き結合的代数をℏ = 0で古典的ポアソン代数に還元し、ℏのオーダーでポアソン括弧を再現するような、量子化問題を定式化すること。
• 無限次元的配置空間上の半形式が、微分同相変換に関して不変な量子状態を定義するための可能性を有する枠組みとしての役割を検討すること。
• 二次量子代数における明示的な交換関係の計算を行い、ディラックのデルタ関数の導関数を含む非自明な恒等式を明らかにすること。

提案手法

• シュワーツ空間 S × S 上の滑らかで急速に減少する汎関数として古典的ハミルトニアンを定義し、変分微分を S ⊕ S にとる。
• 標準的なポアソン括弧を {Φ₁, Φ₂} = ∫(δΦ₁/δπ(x) · δΦ₂/δφ(x) − δΦ₁/δφ(x) · δΦ₂/δπ(x)) dx という式で導入する。
• 多項式記号の空間 Symb がこの括弧に関して、グレーディング付きポアソン代数をなしており、演算に関して閉じていることを確立する。
• 量子化問題を、ℏに依存するフィルター付き結合的代数 Diffₕ を構成することとして定式化し、その関連された次数付き代数が Symb と同型であり、交換関係が −iℏ 乗じたポアソン括弧に ℏ のオーダーで一致することを要請する。
• 正準交換関係とライブニッツ則を用いて、二次量子代数における [∫f(x)φ(x)φ′(x)dx, ∫g(y)π(y)²dy] の明示的計算を行う。
• 同じ交換関係を2通りの方法で計算し、項を打ち消すことで、新しい恒等式 δ(0)δ′(x) = 2δ′(0)δ(x) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、無限次元的位相空間上の汎関数として、量子場の理論における古典的ハミルトニアンの代数を厳密に定義できるか？
• RQ2 なぜ標準的な量子化スキーム（例えば、ウェイ・モアル代数）は、自由ハミルトニアンの二乗を扱えないのか？（発散項 δ(x−x′)² に起因する。）
• RQ3 微分同相変換不変性を尊重し、一貫した演算子順序付けを可能にする量子場ハミルトニアンの正しい代数的構造は何か？
• RQ4 量子場理論における波動関数が、配置空間の微分同相変換に関して、関数としてではなく半形式として変換できるか？その内積に与える影響は何か？
• RQ5 二次量子演算子の交換関係を計算することで、どのような非自明な恒等式が導かれるのか？それらは量子代数の構造をどのように明らかにするか？

主な発見

• 多項式記号の空間 Symb は、標準的な変分ポアソン括弧に関して、明確に定義されたグレーディング付きポアソン代数をなし、演算に関して閉じている。
• 2つの記号のポアソン括弧は再び記号であり、代数はヤコビ恒等式とライブニッツ則を満たす。
• 本稿では、量子化における根本的障害を特定した：自由ハミルトニアン ∫(π² + φ²)/2 dx の二乗は、δ(x−x′)² を含む発散項のため、ウェイ・モアル代数に属さない。
• 明示的な二次量子代数における交換関係の計算から、δ(0)δ′(x) = 2δ′(0)δ(x) という新しい恒等式が導出され、ディラックのデルタ関数の導関数の間の非自明な関係を示している。
• 計算により、2つの二次演算子の交換関係が δ(x−y) および δ′(x−y) を含む項を生じ、それらの打ち消しが一致条件を導き、その結果として恒等式が得られることが示された。
• 解析から、量子場理論における量子状態は、無限次元的配置空間上で自然に半形式として変換する可能性があり、内積および微分同相変換不変性を幾何学的に扱う枠組みを提供する。