[論文レビュー] On the minimal number of periodic orbits on some hypersurfaces in $\mathbb{R}^{2n}$

Jean Gutt, Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$ S^1 $-equivariant symplectic homology を用いて、非退化な星型超曲面において、最小の Conley-Zehnder 指数が $ n-1 $ 以上であるという条件下で、$ \mathbb{R}^{2n} $ 内の $ n $ 個の異なる単純な周期的軌道の下界を確立する。この結果は、動的凸性よりも弱い条件下で Long と Zhu の境界を一般化し、このような超曲面が少なくとも $ n $ 個の偶数の単純な周期的軌道を有することを示し、等号が成り立つとすべての軌道の指標が異なることを示す。

ABSTRACT

We study periodic orbits on a nondegenerate dynamically convex starshaped hypersurface in $\mathbb{R}^{2n}$ along the lines of Long and Zhu, but using properties of the $S^1$-equivariant symplectic homology. We prove that there exist at least $n$ distinct simple periodic orbits on any nondegenerate starshaped hypersurface in $\mathbb{R}^{2n}$ satisfying the condition that the minimal Conley-Zehnder index is at least $n-1$. The condition is weaker than dynamical convexity.

研究の動機と目的

• 非退化な星型超曲面における Reeb フローの幾何学的に異なる周期的軌道の数の下界を確立すること。
• Long と Zhu の結果で用いられた動的凸性の仮定を弱めるために、最小の Conley-Zehnder 指数に関する条件に置き換えること。
• この弱い条件下でも、依然として少なくとも $ n $ 個の偶数の単純な周期的軌道が存在することを証明すること。
• ちょうど $ n $ 個の単純な周期的軌道が存在する場合、それらがすべて異なる Conley-Zehnder 指数を持つ必要があることを示すこと。
• Gürel の完全性結果を一般化し、このような超曲面上の完全な非退化接触形式が、ちょうど $ n $ 個の偶数の単純な周期的軌道を持つことを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、Long と Zhu の手法で用いられた Clarke の双対作用関数の代わりに、$ S^1 $-equivariant symplectic homology を主要な道具として用いる。
• 周期的軌道の Conley-Zehnder 指数の分布を分析し、$ S^1 $-equivariant symplectic homology のチェイン複体の構造を活用する。
• 反復軌道間の指数分布を比較し、チェイン複体内の微分が消えることを利用して、$ n $ 個未満の軌道を仮定した場合に矛盾を導く。
• 2つの軌道の作用と Conley-Zehnder 指数の比に基づいて2つの場合に分けることで、指数シフトの恒等式と微分の消滅を導く。
• 接触形式が完全である場合、各指数レベルにおける良い周期的軌道の数が、$ S^1 $-equivariant symplectic homology 群のランクに一致することを利用する。
• 特に偶数と奇数の指数を持つ軌道に注目し、次数の議論と符号の性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的凸性よりも弱い条件下で、非退化な星型超曲面における幾何学的に異なる周期的軌道の最小数は何か？
• RQ2 従来、動的凸性の下で知られていた $ n $ 個の周期的軌道の下界は、最小の Conley-Zehnder 指数が $ n-1 $ である場合に拡張可能か？
• RQ3 ちょうど $ n $ 個の単純な周期的軌道が存在する場合、それらがすべて異なる Conley-Zehnder 指数を持つための条件は何か？
• RQ4 接触形式の完全性は、周期的軌道の数と分布にどのように関係するか？
• RQ5 $ S^1 $-equivariant symplectic homology は、Reeb 軌道の多重性に関する結果を証明するためにどのような役割を果たすか？

主な発見

• 最小の Conley-Zehnder 指数が $ n-1 $ 以上である非退化な星型超曲面 $ \mathbb{R}^{2n} $ では、少なくとも $ n $ 個の異なる単純な周期的軌道が存在する。
• このような超曲面にちょうど $ n $ 個の単純な周期的軌道が存在する場合、それらはすべて異なる Conley-Zehnder 指数を持つ必要がある。
• 同じ指数条件のもとで、偶数の単純な周期的軌道の数は少なくとも $ n $ 個であり、等号が成り立つとすべての軌道の指標が異なる。
• 非退化接触形式が完全である場合、ちょうど $ n $ 個の偶数の単純な周期的軌道を持つ。
• ちょうど $ n $ 個の周期的軌道を持つ超曲面上に (反-)厳密接触自己同型が存在する場合、すべての軌道はその対称性に関して不変でなければならない。
• 指数条件 $ \mu_{\rm CZ} \geq n-1 $ の下で、$ S^1 $-equivariant symplectic homology チェイン複体のホモロジーが特定の範囲で消えることは不可能であり、$ n $ 個未満の軌道を仮定すると矛盾が生じる。