[論文レビュー] $S^1$-equivariant symplectic homology and linearized contact homology

Frédéric Bourgeois, Alexandru Oancea|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、$S^1$-equivariantなシンプレクティックホモロジーの3つの同値な定義を確立し、有理数係数において、線形化接触ホモロジーが定義されるとき、その正部分がそれと同型であることを証明する。主な貢献は、円周作用を伴う、きめ細かく定義された$S^1$-equivariant構成であり、これは、接触ホモロジーにおける基礎的問題を、シンプレクティック位相幾何学および等長フロイド理論を用いて解消する、代替的かつ明確な定義を提供する。

ABSTRACT

We present three equivalent definitions of $S^1$-equivariant symplectic homology. We show that, using rational coefficients, the positive part of $S^1$-equivariant symplectic homology is isomorphic to linearized contact homology, when the latter is defined. We present several computations and applications, and introduce a rigorously defined substitute for cylindrical/linearized contact homology based on an $S^1$-equivariant construction.

研究の動機と目的

• 円周作用を伴う明確な代替定義を構成することで、シリンダーライクな接触ホモロジーおよび線形化接触ホモロジーにおける基礎的問題を解決すること。
• ボレル構成、ファミリーのフロイドホモロジー、ジョイン構成を用いて、$S^1$-equivariantシンプレクティックホモロジーの3つの同値な定義を提供すること。
• 有理数係数において、$S^1$-equivariantシンプレクティックホモロジーの正部分と線形化接触ホモロジーとの間に自然な同型を確立すること。
• 接触ホモロジーの不変性を、$S^1$-equivariantシンプレクティックホモロジーとの同型性を用いて、リウヴィル領域へと拡張すること。
• 理論をサブクリティカルなステイン多様体および余接 bundle に適用し、既知の結果と整合することを確認すること。

提案手法

• 自由ループ空間のシンプレクティック完備化におけるホモトピー商を用いて、ボレル構成により$S^1$-equivariantシンプレクティックホモロジーを定義する。
• ファミリーのフロイドホモロジーを用いて、ハミルトニアン軌道への$S^1$-作用を組み込んだ等長複体を構成する。
• 特に重み空間への分解を用いた$S^1$の表現論を活用して、複体を簡略化する。
• ジョイン構成を用いて、自由ループ空間の有限次元近似の帰納極限として$S^1$-equivariant複体を実現する。
• 正の$S^1$-equivariantシンプレクティックホモロジーに対してギジン完全列を用い、非等長および接触ホモロジー理論と関連付ける。
• 捩れの障害を避けるために、有理数係数に依存することで、線形化接触ホモロジーとの同型性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シリンダーライクな接触ホモロジーの横断性の問題を回避する、明確な$S^1$-equivariant構成が存在するか？
• RQ2 $S^1$-equivariantシンプレクティックホモロジーは複数の同値な方法で定義可能であり、それらが同型であるか？
• RQ3 有理数係数において、$S^1$-equivariantシンプレクティックホモロジーの正部分が、線形化接触ホモロジーと同型であるか（その定義が可能であるとき）？
• RQ4 この同型性を用いて、不変かつ明確な定義を持つ、シリンダーライクな接触ホモロジーの代替定義を構成可能か？
• RQ5 サブクリティカルな手術や、サブクリティカルなステイン領域、余接 bundle といった特定の多様体において、ホモロジー群はどのように振る舞うか？

主な発見

• 有理数係数における$S^1$-equivariantシンプレクティックホモロジーの正部分は、線形化接触ホモロジーと同型であり、これにより後者に対する明確な代替定義が得られる。
• サブクリティカルなステイン領域$W$に対して、$SH_*^{+,S^1}(W) \simeq \bigoplus_{k \geq 0} H_{*+n-1-2k}(W, \partial W)$が成り立ち、既知の結果が新たな方法で再確認される。
• 次元$\geq 4$の閉じた、向き付け可能でスピンな多様体$L$の単位余接 bundle $ST^*L$ に対して、$SH_*^{+,S^1}(ST^*L) \simeq H_*(\mathcal{L}L/S^1, L)$が成り立ち、チエリバックとラツェーヴの計算と一致する。
• 標準的な横断性の仮定$(A^{cyl})$および$(B_c^{cyl})$を越えて、同型性が成り立つことから、$S^1$-equivariantフレームワークの強靭さが示される。
• 接触ホモロジーが、有限の固定点群を伴う$S^1$-equivariantホモロジーの商であるという考えが理論的に支持され、有理数係数で同型となる。
• サブクリティカルな手術の完全三角形が$SH_*^{+,S^1}$に対して確立され、既知の結果を一般化し、計算に新たなツールを提供する。