[論文レビュー] On the moduli space of singular principal G-bundles over stable curves

Ángel Luis Muñoz Castañeda|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、基底曲線に依存しない一様な線形化が、特異なノード付き曲線上の主G束に対して存在することを確立する。この一様性を活用することで、安定曲線の族上のδ-(半)安定な特異主G束の相対的コンパクトなモジュライ空間を構成し、Mg 上の普遍モジュライ空間の構成をδ-半安定なスウォームへの帰着する。

ABSTRACT

In this paper we proof the existence of a linearization for singular principal G-bundles not depending on the base curve. This allow us to construct the relative compact moduli space of δ-(semi)stable singular principal G-bundles over families of reduced projective and connected nodal curves, and to reduce the construction of the universal moduli space over $\overline{M}_{g}$ to the construction of the universal moduli space of swamps.

研究の動機と目的

• 還元的で、射影的で、連結なノード付き曲線の族上のδ-(半)安定な特異主G束の相対的コンパクトなモジュライ空間を構成すること。
• 基底曲線に依存しない、特異主G束のための一様な線形化を確立し、族全体にわたる一貫したモジュライ構成を可能にすること。
• モジュライ空間Mg 上の普遍モジュライ空間の構成を、δ-半安定なスウォームの普遍モジュライ空間の構成に還元すること。
• スウォーム理論的技法を用いて、既存の主束のモジュライに関する結果を特異的・ノード付き曲線の設定に一般化すること。
• 主G束の普遍モジュライ空間をMg 上でコンパクト化するための基盤を、スウォーム理論を用いて提供すること。

提案手法

• G ↪→SL(n) の完全忠実表現ρを用いて、特異主G束を、F がねじれのない層で、φ が代数的層の準同型であるペア (F, φ) として実現する。
• ノード付き曲線上のねじれのない層の局所構造を、開アフィン近傍へ拡張する結果（定理3.3）を適用し、良好な局所的挙動を保証する。
• 対称代数 S•(V⊗F)^G が生成されるために必要な最小の次数付き部分の数を特定し、これが種数とランクにのみ依存することを示す（定理4.2）。
• スウォーム (F, φ) を主束の一般化として導入し、Hilbert多項式Pと準同型 φ: (F⊗a)⊕b → L を持つ。
• 定理5.5により、すべてのノード付き曲線に対して、スウォーム型 (a,b) の一様な線形化が構成され、基底曲線に依存しない。
• 一様な線形化を用いて、GITを用いてモジュライ空間を相対的モジュライ空間として構成し、Hg 上の普遍族を用い、SLN+1作用をモジュライ空間へと持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノード付き曲線上の特異主G束に対して、基底曲線に依存しない一様な線形化を構成できるか？
• RQ2 特異G束に関連するスウォームの型 (a,b) は、異なるノード付き曲線間で不変であるか？
• RQ3 安定曲線の族上のδ-半安定な特異G束の相対的モジュライ空間をGITを用いて構成できるか？
• RQ4 Mg 上の特異G束の普遍モジュライ空間の構成を、δ-半安定スウォームの普遍モジュライ空間の構成にどの程度まで還元できるか？
• RQ5 GiesekerによるMgの構成は、普遍曲線を介して特異G束のモジュライとどのように関係するか？

主な発見

• 定理5.5により、ノード付き曲線上の特異主G束に関連するスウォームの型 (a,b) は、基底曲線に依存しないことが証明された。
• 定理6.7により、還元的で、射影的で、連結なノード付き曲線の族上のδ-(半)安定な特異主G束の相対的コンパクトなモジュライ空間が存在することが確立された。
• Mg 上のδ-半安定な特異G束の普遍モジュライ空間の構成は、δ-半安定スウォームの普遍モジュライ空間の構成に還元される。
• Hilbert多項式Pをファイバー上で持つ、GITを用いた粗S-射影的モジュライ空間 SPBUg/Hg(ρ)δ-(s)sP が構成された。
• Hg 上のSLN+1作用が、モジュライ空間 SPBUg/Hg(ρ)δ-(s)sP へ持ち上げられ、Mg 上の普遍モジュライ空間をGITを用いて構成することが可能になった。
• Schmitt、Langer、Gómez-Sols の既存の構成を特異的・ノード付き曲線の設定に一般化し、主G束のモジュライ空間のコンパクト化を提供した。