[論文レビュー] On the motivic commutative ring spectrum BO

Ivan Panin, Charles Walter|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、スプリングリングのエルミートK理論を、1/2を含む基底上の滑らかなスキームの上でコホモロジー理論として実現する、安定的にファイブレーション的で(8,4)-周期的なモチビック可換環スペクトル$\mathbf{BO}$を構成する。$\mathbf{BO}^{p,q}(X_+/U_+)$と$KO^{[q]}_{2q-p}(X,U)$の間の標準的同型を確立し、グローテンディーク＝ウット群上のテンソル積と整合する一意的な可換モノイド構造を$\mathbf{BO}$に与える。

ABSTRACT

We construct an algebraic commutative ring T- spectrum BO which is stably fibrant and (8,4)- periodic and such that on SmOp/S the cohomology theory (X,U) -> BO^{p,q}(X_{+}/U_{+}) and Schlichting's hermitian K-theory functor (X,U) -> KO^{[q]}_{2q-p}(X,U) are canonically isomorphic. We use the motivic weak equivalence Z x HGr -> KSp relating the infinite quaternionic Grassmannian to symplectic $K$-theory to equip BO with the structure of a commutative monoid in the motivic stable homotopy category. When the base scheme is Spec Z[1/2], this monoid structure and the induced ring structure on the cohomology theory BO^{*,*} are the unique structures compatible with the products KO^{[2m]}_{0}(X) x KO^{[2n]}_{0}(Y) -> KO^{[2m+2n]}_{0}(X x Y). on Grothendieck-Witt groups induced by the tensor product of symmetric chain complexes. The cohomology theory is bigraded commutative with the switch map acting on BO^{*,*}(T^{2}) in the same way as multiplication by the Grothendieck-Witt class of the symmetric bilinear space <-1>.

研究の動機と目的

• スプリングリングのエルミートK理論をコホモロジー理論として実現するモチビック可換環スペクトル$\mathbf{BO}$を構成すること。
• 1/2を含む基底上の滑らかなスキームに対して、$\mathbf{BO}^{p,q}(X_+/U_+)$と$KO^{[q]}_{2q-p}(X,U)$の間の標準的同型を確立すること。
• $\mathbb{Z} \times HGr \xrightarrow{\sim} \mathbf{KSp}$を用いて、モチビック安定ホモトピー圏における$\mathbf{BO}$に可換モノイド構造を与えること。
• $\mathbf{BO}^{*,*}$に誘導される環構造が、対称チェーン複体を介してグローテンディーク＝ウット群上のテンソル積と一意的に整合することを示すこと。
• モレルとヴェドヴォスキーのグラスマンニアンの定理をシンプレクティック設定に拡張し、モチビック不安定ホモトピー圏で$\mathbb{Z} \times HGr \simeq \mathbf{KSp}$を証明すること。

提案手法

• $\mathbf{BO}$を、シフトされた双対性を持つ有界複体に対するシュリントンのエルミートK理論空間のファイブレーション的置換として得られる$T$-スペクトルとして構成する。
• $\mathbb{Z} \times HGr \xrightarrow{\sim} \mathbf{KSp}$のモチビック弱同値性を用いて、モチビック安定ホモトピー圏における$\mathbf{BO}$の可換モノイド構造を与える。
• スペクトルの構造とスティーフェルクラスを介して、$KO^{[n]}_i(X,U) \cong \mathbf{BO}^{2n-i,n}(\Sigma_T^\infty(X_+/U_+))$の同型を確立する。
• シンプレクティックコホモロジーにおけるボレル類の理論を適用し、$KSp \cong KO^{[2]}$を用いて、シンプレクティックバンドル$E,\phi$に対して$b_i(E,\phi) \in KO^{[2i]}_0(X)$を定義する。
• $CP^1$-スペクトル枠組みとアフィングラスマンニアン$CGr(m,n)$を用いて、代数K理論の類似物として$CP^{1+}$-スペクトル$\mathbf{BGL}^{\text{fin}}$と$\mathbf{BGL}^{\text{geom}}$を構成する。
• ホモトピー論的技術、特に$\varprojlim^1$の議論と$\mathbf{A}^1$-ホモトピーを用いて、整合性と表現可能性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチビック可換環スペクトル$\mathbf{BO}$を、(8,4)-周期的で、スプリングリングのエルミートK理論をコホモロジー理論として実現するように構成できるか？
• RQ2 1/2を含む基底上の滑らかなスキームに対して、コホモロジー理論$\mathbf{BO}^{p,q}(X_+/U_+)$と$KO^{[q]}_{2q-p}(X,U)$の間に標準的同型が存在するか？
• RQ3 $\mathbb{Z} \times HGr \simeq \mathbf{KSp}$のモチビック弱同値性が、グローテンディーク＝ウット群上のテンソル積と整合する一意的な可換モノイド構造を$\mathbf{BO}$に与えるか？
• RQ4 シンプレクティックコホモロジーにおけるボレル類は、$\mathbf{BO}$の構造とそのコホモロジー群にどのように関係するか？
• RQ5 モレル＝ヴェドヴォスキーのグラスマンニアンに関する定理をシンプレクティックの場合に拡張でき、モチビック不安定ホモトピー圏で$\mathbb{Z} \times HGr \simeq \mathbf{KSp}$を確立できるか？

主な発見

• $\mathbf{BO}$は安定的にファイブレーション的で(8,4)-周期的であり、コホモロジー群$\mathbf{BO}^{p,q}(X_+/U_+)$はシュリントンのエルミートK理論$KO^{[q]}_{2q-p}(X,U)$と標準的に同型である。
• $\mathbf{BO}^{*,*}$に誘導される環構造は、対称チェーン複体によって引き起こされるグローテンディーク＝ウット群上のテンソル積と一意的に整合する。
• $\mathbf{BO}^{*,*}$のコホモロジー理論は双次数的可換であり、スイッチ写像は、対称双線形空間$\langle -1 \rangle$のグローテンディーク＝ウット類による乗法作用を表す。
• $\mathbb{Z} \times HGr \xrightarrow{\sim} \mathbf{KSp}$のモチビック弱同値性が、$\mathbf{BO}$にモチビック安定ホモトピー圏における可換モノイド構造を与える主要な入力である。
• エルミートK理論空間のファイブレーション的置換による$\mathbf{BO}$の構成により、すべての重みが一様に取り扱われ、非アフィンスキームや開ペアも自然に扱える。
• モレルとヴェドヴォスキーのグラスマンニアン定理をシンプレクティック設定に拡張したことが検証され、$\mathbb{Z} \times HGr \simeq \mathbf{KSp}$が$H_\bullet(S)$で成り立つことが証明された。この結果が、$\mathbf{BO}$の構成の基盤をなしている。