[論文レビュー] On the neighborhood of a torus leaf and dynamics of holomorphic foliations

Takayuki Koike, Noboru Ogawa|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素表面 $X$ 内の楕円曲線 $Y$ の近傍の解析的型—Ueda が分類したもの—と、$Y$ をコンpakトな葉として持つ正則foliation $\mathcal{F}$ のホロノミーの力学的挙動との間の対応関係を確立する。ホロノミーが非線形化可能ではなく、無理数的中立的である場合、$Y$ の近傍はUedaの型 $\gamma$ であることが示され、Uedaの分類における動的不変量を用いた主要なケースが解決される。

ABSTRACT

Let $X$ be a complex surface and $Y$ be an elliptic curve embedded in $X$. Assume that there exists a non-singular holomorphic foliation $\mathcal{F}$ with $Y$ as a compact leaf, defined on a neighborhood of $Y$ in $X$. We investigate the relation between Ueda's classification of the complex analytic structure of a neighborhood of $Y$ and complex dynamics of the holonomy of $\mathcal{F}$ along $Y$. More precisely, we show that the pair $(Y,X)$ is of type ($γ$) in his classification when there exists a closed curve in $Y$ along which the holonomy of $\mathcal{F}$ is irrationally indifferent and non-linearizable. We also investigate the metric semi-positivity of the line bundle determined by the divisor $Y$. Our approach is based on the theory of hedgehogs, due to Pérez-Marco.

研究の動機と目的

• 正則foliation $\mathcal{F}$ が $Y$ をコンパクトな葉として持つ場合、$X$ 内の楕円曲線 $Y$ の近傍のUeda型をホロノミーを用いて特定すること。
• ホロノミー写像の力学的性質—特に $0$ における線形化可能性と不動点の型—が $Y$ の近傍の解析的構造にどのように影響するかを調査すること。
• 非線形化可能でなく、無理数的中立的なホロノミーが型 $\gamma$ を示すことを示すことにより、Ueda型 $\gamma$ の未解決ケースを解決すること。
• Uedaの例に関する先行研究を拡張し、近傍分類の不変量としてホロノミーの力学的挙動を分析すること。

提案手法

• Uedaの分類に従い、$Y$ の近傍を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ のタイプに分類する。これは、モデル近傍との高次接触（jet同値）に基づく。
• foliatedチャートにおける遷移写像を用いて、$Y$ 上のループ $c$ 沿いのホロノミー表現 $h_{\mathcal{F}}: \pi_1(Y,p) \to \mathrm{Diff}(\mathbb{C},0)$ を定義する。
• 複素力学におけるヘッジホッグ理論を適用し、特に非線形化可能でなく、無理数的中立的な場合のホロノミー写像 $g \in \mathrm{Diff}(\mathbb{C},0)$ の挙動を研究する。
• 可換な正則局所写像 $f$ と $g$ から構成される、$L = \bigcap_{n \geq 0} f^n(K_r)$ のような入れ子のコンパクトで連結で不変な集合列を用いて、共通のヘッジホッグの存在を証明する。
• ジョルダン曲線と連結性に関する位相的議論を用い、$K'$ が十分大きな $n$ に対して $\eta_n$ と交差しないと仮定すると、連結性が破れるため矛盾が生じる。
• 非線形化可能 germ に関する定理 7.3 を適用し、$L = \{0\}$ であることを排除することで、$f$ と $g$ の非自明な共通ヘッジホッグ $L$ の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則foliation $\mathcal{F}$ のホロノミーにどのような力学的条件が成立するとき、楕円曲線 $Y$ の近傍はUeda型 $\gamma$ となるか？
• RQ2 ホロノミーgerm の非線形化可能性と無理数的中立性が、$Y$ の近傍の解析的型を決定づけることができるか？
• RQ3 共通のヘッジホッグの存在といった動的不変量が、Ueda型 $\gamma$ の近傍を特徴づけることができるか？
• RQ4 ホロノミー表現 $h_{\mathcal{F}}$ は、Ueda理論における近傍の jet 理論的分類とどのように関係するか？
• RQ5 原点における可換な正則局所写像 $f$ と $g$ の力学的挙動を用いて、非自明なコンパクト不変集合（ヘッジホッグ）の存在を証明し、それが近傍の型を反映することができるか？

主な発見

• ホロノミーが非線形化可能でなく、無理数的中立的である場合、$Y$ の近傍はUeda型 $\gamma$ である。
• 両方のgerm が非線形化可能でなく、不動点が無理数的中立的である場合、原点における可換な正則局所写像 $f$ と $g$ の共通ヘッジホッグの存在が保証される。
• 入れ子の交わり $L = \bigcap_{n \geq 0} f^n(K_r)$ は、$0 \in L$ かつ $L \neq \{0\}$ を満たすコンパクトで連結で、フルで不変な集合を形成し、非自明な力学的挙動を示す。
• 証明は、位相的連結性に基づく背理法に依存する：$K'$ が十分大きな $n$ に対して $\eta_n$ と交差しないと仮定すると、連結性が破れるため矛盾が生じる。
• ホロノミーの非線形化可能性が $L = \{0\}$ を排除し、これは非線形化可能germ に関する既知の結果と矛盾する。
• この構成により、ホロノミー写像の力学的挙動が、特にこれまで謎めいた型 $\gamma$ の場合に、近傍の解析的型を完全に決定することが確認された。