[論文レビュー] On the neighbourhoods of trees

Peter Humphries, Taoyang Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2012

Alzheimer's disease research and treatments参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、系統的木のtbr（木の二等分と再接続）近傍のサイズについて、閉形式の式を提供し、1回のtbr操作で到達可能な異なる木の数について長年の未解決問題を解決している。著者らは、特に部分木とクラスタの分布に基づいて木の位相構造に依存する公式を導出し、近傍サイズが木の形状に強く依存することを示している。特に、カタパルタ型の木が最大サイズを示し、完全二分木が漸近的に最小サイズを示す。

ABSTRACT

Tree rearrangement operations typically induce a metric on the space of phylogenetic trees. One important property of these metrics is the size of the neighbourhood, that is, the number of trees exactly one operation from a given tree. We present an expression for the size of the TBR (tree bisection and reconnection) neighbourhood, thus answering a question first posed in [Annals of Combinatorics, 5, 2001 1-15].

研究の動機と目的

• 任意の非根付き二分系統的木に対するtbr近傍サイズの正確な大きさを特定する未解決問題を解消すること。
• 木の形状、特にクラスタと部分木サイズの分布が、1回のtbr操作で到達可能な木の数に与える影響を特定すること。
• 空間 $\mathscr{T}_n$ 内のすべての二分木位相構造において、tbr近傍サイズのタイトな漸近的上限および下限を確立すること。
• クラスタ分解と部分スプリットに基づく統一的枠組みを用いて、既知のNNIおよびSPR近傍の結果を再証明すること。
• 葉の数の2進展開と木の階層的構造に依存する、tbr近傍サイズの一般式を提供すること。

提案手法

• tbr操作をエッジの削除と、二分木構造を保つために分割を伴う再接続として定義し、得られる木が異なりかつ有効であることを保証する。
• 部分スプリットとクラスタの概念を用いて、特にサイズ $2^j$ の部分木に注目して、木を特定のサイズの部分木に分解する。
• サイズ $m$ の部分木がサイズ $2^j$ のクラスタを含むかどうかを検出する関数 $\tau(m)$ を導入し、有効なtbr操作の数に影響を与える。
• 葉の数 $n$ の2進表現に基づく再帰的分解を用い、部分木サイズの合計をとることで、tbr操作の総数を計算する。
• 二進展開における係数 $\alpha_i$ と木のクラスタ分解構造を用いて、$\Gamma(\mathcal{T})$（tbr操作の総数）の一般式を導出する。
• 定理3.6を用いて、$\Gamma(\mathcal{T})$ を $n^2$ 項と一次項を含む変換により、最終的なtbr近傍サイズ $|N_{\textsc{tbr}}(\mathcal{T})|$ に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた非根付き二分系統的木に対するtbr近傍サイズの正確な大きさは何か？ また、木の位相構造に応じてどのように変化するか？
• RQ2 木の構造的性質（例えばチェリーの有無、クラスタ、部分木サイズなど）は、可能なtbr操作の数にどのように影響するか？
• RQ3 $\mathscr{T}_n$ 内で、tbr近傍サイズを最大または最小にする木の形状は何か？
• RQ4 tbr近傍サイズを、$n$ の2進表現と木の階層的クラスタ構造に基づいた閉形式の式として表現できるか？
• RQ5 すべての$ n $ 枚の葉を持つ二分木において、tbr近傍サイズのタイトな漸近的上限および下限は何か？

主な発見

• 本稿では、木の位相構造、特に $n$ の2進分解とサイズ $2^j$ の部分木の有無に依存する $|N_{\textsc{tbr}}(\mathcal{T})|$ の閉形式の式を提供している。
• $n = 3 \cdot 2^{k-1}$ の完全な木に対して、tbr近傍サイズは $|N_{\textsc{tbr}}(\mathcal{T})| = n^2(4k - \frac{32}{3}) + 22n - 6$ である。
• $n = 2^k$ の完全な木に対して、サイズは $|N_{\textsc{tbr}}(\mathcal{T})| = n^2(4k - 13) + 22n - 6$ である。
• 完全二分木では、tbr近傍サイズは $|N_{\textsc{tbr}}(\mathcal{T})| = 4n^2\lfloor \log_2 n \rfloor + O(n^2)$ を満たし、漸近的にタイトな下限が確立される。
• 最大のtbr近傍サイズはカタパルタ型の木で達成され、以前に知られていた上限 $\frac{2}{3}n^3 - 4n^2 + \frac{16}{3}n + 2$ と一致する。
• 最小のtbr近傍サイズは完全二分木で発生し、漸近的成長は $\Theta(n^2 \log n)$ であり、下限のタイトさが確認される。