[論文レビュー] On Two Measures of Distance between Fully-Labelled Trees

Giulia Bernardini, Paola Bonizzoni+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2020

Data Management and Algorithms参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、完全ラベル付き根付き木の解析における2つの未解決問題を解決する。まず、同型な2つの木間の置換距離を計算することは、多項式対数的要因の差異を除いて、スパースな二部グラフにおける最大マッチングを求める問題に等価であることが示され、これにより $\tilde{\rm O}(n^{4/3+o(1)})$ 時間のアルゴリズムが可能になる。さらに、構造的仮定なしに任意の木間の再配置距離に対して、線形時間の定数倍近似アルゴリズムを提示する。

ABSTRACT

The last decade brought a significant increase in the amount of data and a variety of new inference methods for reconstructing the detailed evolutionary history of various cancers. This brings the need of designing efficient procedures for comparing rooted trees representing the evolution of mutations in tumor phylogenies. Bernardini et al. [CPM 2019] recently introduced a notion of the rearrangement distance for fully-labelled trees motivated by this necessity. This notion originates from two operations: one that permutes the labels of the nodes, the other that affects the topology of the tree. Each operation alone defines a distance that can be computed in polynomial time, while the actual rearrangement distance, that combines the two, was proven to be NP-hard. We answer two open question left unanswered by the previous work. First, what is the complexity of computing the permutation distance? Second, is there a constant-factor approximation algorithm for estimating the rearrangement distance between two arbitrary trees? We answer the first one by showing, via a two-way reduction, that calculating the permutation distance between two trees on $n$ nodes is equivalent, up to polylogarithmic factors, to finding the largest cardinality matching in a sparse bipartite graph. In particular, by plugging in the algorithm of Liu and Sidford [ArXiv 2020], we obtain an $O(n^{4/3+o(1)})$ time algorithm for computing the permutation distance between two trees on $n$ nodes. Then we answer the second question positively, and design a linear-time constant-factor approximation algorithm that does not need any assumption on the trees.

研究の動機と目的

• 同型な完全ラベル付き木間の置換距離の計算複雑度を解明すること。
• 構造的仮定なしに任意の完全ラベル付き木間の再配置距離に対して定数倍近似アルゴリズムを開発すること。
• Bernardini ら (CPM 2019) が腫瘍系統発生における操作的距離に関して残した未解決問題を解消すること。
• 木の置換距離と最大二部マッチングの間の関係を確立し、改善された実行時間の上限を導出すること。
• 二分木の仮定を必要としない、腫瘍系統発生の比較に実用的かつ効率的なアルゴリズムを設計すること。

提案手法

• 置換距離とスパースな二部グラフにおける最大基数マッチングの間の双方向還元を構築し、多項式対数的要因の差異を除いて等価であることを示す。
• Liu と Sidford (2020) が提案した、既知の最速の最大マッチングアルゴリズムを活用し、置換距離の計算に $\tilde{\rm O}(n^{4/3+o(1)})$ 時間の上限を達成する。
• 再配置距離を近似するための3段階アルゴリズムを設計する：(1) 親マッピングによるノードのアライメント、(2) 非モードエッジのカットによる曖昧な親マッピングの解消、(3) マッチングに基づく置換による矛盾するルートマッピングの解消。
• 多重集合のモード検出とエッジカットのヒューリスティクスを用いて、構造的一致性を保ちながらカット数を最小化する。
• 根と親関係を $F_1^3$ から $F_2$ に写像する置換 $\pi$ を構築し、$|\pi| \leq 4\tilde{d}(F_1^3, F_2)$ を満たすようにする。これは次数制約付きグラフマッチングにより実現される。
• 合計のカット数が構築されたマッチングのサイズの2倍以内であることを証明し、近似比が有界であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同型な完全ラベル付き木間の置換距離を計算する計算複雑度は何か？
• RQ2 構造的仮定なしに、任意の完全ラベル付き木間の再配置距離に対して定数倍近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 置換距離と最大二部マッチングの間に、改善された実行時間の上限を導く関係が存在するか？
• RQ4 再配置距離を線形時間で定数倍近似できるか？
• RQ5 近似処理中に、木の比較における曖昧な親マッピングをどのように効率的に解消できるか？

主な発見

• 同型な完全ラベル付き木間の置換距離は、二部マッチングへの還元により $\tilde{\rm O}(n^{4/3+o(1)})$ 時間で計算可能である。
• 置換距離の計算複雑度は、スパースな二部グラフにおける最大マッチングの複雑度と、多項式対数的要因の差異を除いて等価である。
• 構造的制約（二分木など）なしに、任意の完全ラベル付き木に対して線形時間の定数倍近似アルゴリズムを設計した。
• 近似アルゴリズムは、操作数が最適再配置距離の定数倍以内であることを保証し、$\textsc{ALG}(4) \leq 4\tilde{d}(F_1^3, F_2)$ の境界を達成する。
• 構造的一致性を保ちながら操作数を最小化するカット・パラメータと置換の連鎖により、アルゴリズムの正しさが確立される。
• 最終的な置換操作は、必要なマッピングに基づく次数制限付きグラフ上で構築され、最適解に対するサイズが有界な有効な置換が保証される。