[論文レビュー] On the notion of spectral decomposition in local geometric Langlands

Sam Raskin|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、任意の分岐を許す再帰的群における局所的幾何的ラングランズ理論における2つの自然なスペクトル分解の概念の同値性を、de Rham局所系のモジュライ空間上のホモロジー代数を用いて確立する。無限次元のこのモジュライ空間がArtinスタックに類似した性質を示すことを証明し、すべての表現（特に既約でないものも含む）に対してスペクトル分解が可能であることを示し、不規則な特異点を含む任意の分岐を許す完全な幾何的ラングランズ理論の存在を支持する。

ABSTRACT

The geometric Langlands program is distinguished in assigning spectral decompositions to all representations, not only the irreducible ones. However, it is not even clear what is meant by a spectral decomposition when one works with non-abelian reductive groups and with ramification. The present work is meant to clarify the situation, showing that the two obvious candidates for such a notion coincide. More broadly, we study the moduli space of (possibly irregular) de Rham local systems from the perspective of homological algebra. We show that, in spite of its infinite-dimensional nature, this moduli space shares many of the nice features of an Artin stack. Less broadly, these results support the belief in the existence of a version of geometric Langlands allowing arbitrary ramification. Along the way, we give some apparently new, if unsurprising, results about the algebraic geometry of the moduli space of connections, using Babbitt-Varadarajan's reduction theory for differential equations.

研究の動機と目的

• 非アーベル的再帰的群に分岐を含む局所的幾何的ラングランズ理論におけるスペクトル分解の概念を明確化すること。
• DGカテゴリのモジュライ空間を介する定義と、de Rham局所系のモジュライ空間を介する定義という、2つのスペクトル分解の候補定義が一致することを示すこと。
• 無限次元であるにもかかわらず、de Rham局所系のモジュライ空間がArtinスタックと類似した主要な性質を示し、ホモロジー代数的手法を適用可能にすることを示すこと。
• 不規則な特異点を含む任意の分岐を許す幾何的ラングランズ対応の存在の予想を支持すること。
• ベイリンソン＝ベズルカヴィニコフ理論を分岐なし・正規特異点のケースを超えて拡張するための基礎的幾何学的・ホモロジー代数的道具を構築すること。

提案手法

• 穴あき形式的円板 $\overset{\circ}{{\mathcal{D}}}$ 上のde Rham局所系のモジュライ空間におけるホモロジー代数を用いる。
• バビット＝ヴァラダラジャンの還元理論を用いて、不規則な特異点をもつ微分方程式および接続を分析する。
• プロ・パーフェクト複体とテート加群を用いて、モジュライ空間の無限次元性に対処する。
• de Rhamコホロロジー設定における $A[[t]]$-ラティス間の接続写像に対して、フレドホルム性質を確立する。
• 正確な三角形とコーン分解を用いて、局所系のコホロロジーと切断接続の余核を関連付ける。
• 1アフィン性および導来幾何的サタケの結果を適用し、既知のケースや予想的な枠組みと接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群に分岐を許す局所的幾何的ラングランズ理論において、DGカテゴリのモジュライ空間を介する定義と、ファイバーごとの分解を介する定義という2つの自然なスペクトル分解の概念が一致するか？
• RQ2 不規則な特異点をもつde Rham局所系のモジュライ空間は、無限次元であるにもかかわらず、スタックに類似た性質を示す幾何的対象と見なせるか？
• RQ3 幾何的ラングランズ理論の枠組みにおいて、素性や既約でない表現を含め、$G(K)$ のすべての滑らかな表現に対して一貫したスペクトル分解理論が存在するか？
• RQ4 バビット＝ヴァラダラジャンの還元技法は、基底スキーム上のファミリーのグローバルな設定にどのように拡張できるか？
• RQ5 導来代数的幾何学の枠組みを用いて、野生的分岐を含む状況においてスペクトル分解を定義・研究できるか？

主な発見

• 再帰的群に任意の分岐を許す局所的幾何的ラングランズ理論において、DGカテゴリのモジュライ空間を介する定義と、ファイバーごとの分解を介する定義という2つのスペクトル分解の候補定義が一致する。
• de Rham局所系のモジュライ空間は、無限次元であるにもかかわらず、主要なホモロジー的性質においてArtinスタックに類似した性質を示す。
• ラティスの準同型 $\nabla: \Lambda \to \Lambda'$ に対して、底環 $A$ 上のプロ・パーフェクト複体の圏において、写像はフレドホルム的である。
• 十分に大きな $r$ に対して、余核 $\operatorname{Coker}(t^r\Lambda \xrightarrow{\nabla} \Lambda')$ は、有限ランクの $A$-加群 $P$ を用いた形の複体 $P[-1]$ に準同型的である。
• 整数 $\ell$ および $r_0$ が存在し、すべての $r \geq r_0$ に対して $t^{r+\ell}\Lambda' \subseteq \nabla(t^r\Lambda)$ であり、商が有限ランクの射影 $A$-加群である。
• 穴あき円板上のde Rham複体のコホロロジーは底環上で完全であり、スペクトル分解は基底変換と両立する。