[論文レビュー] On the NP-completeness of the Minimal Controllability Problem

Guilherme Ramos, Soummya Kar+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、単純固有値をもつ線形時不変系（LTI）に対して、最小制御可能性問題（MCP）がNP完全であることを示している。これは集合被覆問題への還元によって証明されており、一般にはNP完全であるが、測度論的にはほとんど多項式時間で解けることが示され、近似手法による近似的な最適解が実用的に得られることを示している。

ABSTRACT

This paper studies the minimal controllability problem(MCP), i.e., the problem of, given a linear time invariant system, finding the sparsest input vector tha t ensures system’s controllability. We show that the MCP is NP-complete, when the eigenvalues of the system dynamics matrix are simple. This is achieved by reducing the MCP to a set covering problem. In addition, the approximated solutions to the set covering problem lead to feasible (but sub-optimal) solutions to the MCP. Further, we analyze the relation of the MCP with its structural counterpart, the minimal structural controllability problem (MSCP) which is known to admit a polynomial complexity solution procedure. In fact, we conclude that the MCP is almost polynomial (P) in the sense the MCP for which we cannot show that is P (but NPcomplete) has zero Lesbegue measure. Finally, we provide an illustrative example where the solution to the MCP is found using the main results and reductions developed in this paper and posteriorly compared with the solution of the MSCP.

研究の動機と目的

• 最小制御可能性問題（MCP）の計算複雑性を特定すること。MCPは、システムの制御可能性を保証する最もスパースな入力ベクトルを求める問題である。
• MCPを集合被覆問題へ形式的な還元を確立し、その計算の困難さを分析すること。
• MCPとその構造的同等問題である最小構造的制御可能性問題（MSCP）との関係を調査すること。MSCPはすでに多項式時間で解けることが知られている。
• MCPがNP完全である一方で、それが一般に成り立つ性質かどうか、Lebesgue測度の観点から検討すること。
• MCPとMSCPの解を比較する具体的な例を提示し、手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 単純固有値の条件下でMCPを集合被覆問題に還元し、NP完全性を証明した。
• 集合被覆問題の近似アルゴリズムを用いて、MCPの妥当な（ただし最適でない）解を生成した。
• MSCPという構造的同等問題を分析し、MCPのNP完全性と比較して、MSCPの多項式時間解法の優位性を明らかにした。
• 測度論的議論を用いて、MCPがNP完全であるシステムの集合がLebesgue測度でゼロであることを示し、MCPが測度論的にほとんど多項式時間であることを示した。
• 具体的なシステムに対して、提案された還元手法と解法の応用を示す数値例を提示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小制御可能性問題（MCP）は計算的に困難であるか？ もしそうなら、どのような条件下でそうなるか？
• RQ2 MCPは、既知のNP困難問題（例えば集合被覆問題）に還元可能か？ これにより、その複雑性が確立されるか？
• RQ3 MCPの複雑性は、既に多項式時間で解けることが知られている最小構造的制御可能性問題（MSCP）と比べてどう異なるか？
• RQ4 MCPのNP完全性は一般に成り立つ性質なのか、それとも測度ゼロの集合でのみ発生する性質なのか？
• RQ5 集合被覆問題の近似手法は、実世界の応用においてMCPの実用的で近似的な最適解を導くのに有効か？

主な発見

• システムの動的行列が単純固有値をもつとき、MCPはNP完全であることが証明された。
• 問題は集合被覆問題に還元可能であり、これにより複雑性の分析と近似解の導出が可能になった。
• NP完全であるが、MCPがNP完全であるシステムの集合はLebesgue測度でゼロであるため、測度論的にはほとんど多項式時間で解ける。
• 集合被覆問題の近似アルゴリズムにより、MCPの妥当な（ただし最適でない）解が得られた。
• 提案された還元手法により、MCPの解が計算可能であることが数値例で示された。この例では、MCPの解がMSCPの解と比較された。