[論文レビュー] On the operator norm of non-commutative polynomials in deterministic matrices and iid GUE matrices

Benoı̂t Collins, Alice Guionnet+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、独立なGUEランダム行列と決定的行列における非可換多項式の作用素ノルムの精密な濃縮バウンドを確立し、滑らかな関数の正規化トレースとその自由確率論的極限との期待値の差が $ M^2 \|f\|_{\mathcal{C}^6} N^{-2} $ で有界であることを示している。主な結果として、決定的行列サイズ $ M_N = o(N^{1/3}) $ のとき、このような多項式の作用素ノルムが自由極限へほとんど確実に収束することを証明しており、以前の $ o(N^{1/4}) $ の境界を改善している。

ABSTRACT

Let $X^N = (X_1^N,\dots, X^N_d)$ be a d-tuple of $N imes N$ independent GUE random matrices and $Z^{NM}$ be any family of deterministic matrices in $\mathbb{M}_N(\mathbb{C})\otimes \mathbb{M}_M(\mathbb{C})$. Let $P$ be a self-adjoint non-commutative polynomial. A seminal work of Voiculescu shows that the empirical measure of the eigenvalues of $P(X^N)$ converges towards a deterministic measure defined thanks to free probability theory. Let now $f$ be a smooth function, the main technical result of this paper is a precise bound of the difference between the expectation of $$\frac{1}{MN} ext{Tr}\left( f(P(X^N\otimes I_M,Z^{NM})) ight)$$ and its limit when $N$ goes to infinity. If $f$ is six times differentiable, we show that it is bounded by $M^2\left\Vert f ight\Vert_{\mathcal{C}^6}N^{-2}$. As a corollary we obtain a new proof of a result of Haagerup and Thorbjørnsen, later developed by Male, which gives sufficient conditions for the operator norm of a polynomial evaluated in $(X^N,Z^{NM},{Z^{NM}}^*)$ to converge almost surely towards its free limit. Restricting ourselves to polynomials in independent GUE matrices, we give concentration estimates on the largest eingenvalue of these polynomials around their free limit. A direct consequence of these inequalities is that there exists some $β>0$ such that for any $\varepsilon_1<3+β)^{-1}$ and $\varepsilon_2<1/4$, almost surely for $N$ large enough, $$-\frac{1}{N^{\varepsilon_1}}\ \leq \| P(X^N)\| - \left\Vert P(x) ight\Vert \leq\ \frac{1}{N^{\varepsilon_2}}.$$ Finally if $X^N$ and $Y^{M_N}$ are independent and $M_N = o(N^{1/3})$, then almost surely, the norm of any polynomial in $(X^N\otimes I_{M_N},I_N\otimes Y^{M_N})$ converges almost surely towards its free limit. This result is an improvement of a Theorem of Pisier, who was himself using estimates from Haagerup and Thorbjørnsen, where $M_N$ had size $o(N^{1/4})$.

研究の動機と目的

• 独立なGUE行列と決定的行列における非可換多項式の作用素ノルムの鋭い濃縮不等式を確立すること。
• 決定的行列サイズに関する一般条件の下で、作用素ノルムが自由確率論的極限へ収束するレートを定量化すること。
• ハーガープとトールビョーンセンのGUE行列における多項式の作用素ノルムのほとんど確実な収束結果の新しい証明を提供すること。
• ピジエの作用素ノルム収束結果を拡張し、決定的行列サイズの成長条件を $ o(N^{1/4}) $ から $ o(N^{1/3}) $ に改善すること。

提案手法

• ランダム行列と決定的行列の多項式に滑らかな関数を適用した正規化トレースとその自由確率論的極限との差に対する高確率的濃縮バウンドを導出する。
• スペクトルギャップの議論と対数ソボレフ不等式を用いて、トレース関数のフラクチュエーションを制御する。
• 2次のピオンカレ型不等式を適用して、行列多項式の滑らかな関数のトレースの分散をバウンドする。
• 摂動論的議論を用いて、ランダム行列における多項式のノルムとその自由極限との関係を、ノルム差に対するリプシッツ型バウンドを用いて結びつける。
• 切断と指数モーメント法を導入して、ノルムの偏差の尾確率を制御する。
• 濃縮バウンドとカップリングの議論を組み合わせることで、作用素ノルムのほとんど確実な収束レートを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立なGUE行列と決定的行列における非可換多項式の作用素ノルムが自由確率論的極限へ収束するレートは何か？
• RQ2 行列サイズ $ M $ に一様に依存しない形で、このような多項式の滑らかな関数の正規化トレースの濃縮をバウンドできるか？
• RQ3 決定的行列サイズ $ M_N $ の成長率は、作用素ノルムが自由極限へほとんど確実に収束するのにおよぼす影響は何か？
• RQ4 ピジエおよびハーガープ＝トールビョーンセンの $ o(N^{1/4}) $ の境界は、より強いモーメントの仮定のもとで改善可能か？
• RQ5 ほとんど確実に $ \|P(X^N)\| - \|P(x)\| \in O(N^{-\varepsilon}) $ となるような最適の指数 $ \varepsilon $ は何か？

主な発見

• GUE行列と決定的行列における多項式に滑らかな関数 $ f $ を適用した正規化トレースの期待値とその自由確率論的極限との差は、$ M^2 \|f\|_{\mathcal{C}^6} N^{-2} $ で有界である。
• 任意の $ \varepsilon_1 < (3 + \beta)^{-1} $ および $ \varepsilon_2 < 1/4 $ に対して、$ N $ が十分に大きいとき、$ P(X^N) $ の作用素ノルムは almost surely で $ \left| \|P(X^N)\| - \|P(x)\| \right| \leq N^{-\varepsilon_2} $ を満たす。
• $ M_N = o(N^{1/3}) $ のとき、任意の多項式 $ X^N \otimes I_{M_N} $ と $ I_N \otimes Y^{M_N} $ の作用素ノルムは、自由極限へほとんど確実に収束する。これは、以前の $ o(N^{1/4}) $ の境界を改善している。
• 本稿は、ハーガープとトールビョーンセンの結果である作用素ノルムの自由極限へのほとんど確実な収束に関する結果の新しい証明を提供している。
• ノルムの偏差に対する濃縮不等式は、$ e^{-K\delta^2 N} $ のオーダーの指数的尾確率を示しており、強い濃縮を示している。
• 解析により、作用素ノルムの偏差が $ N^{-1/(3+\beta)} $ のオーダーの項によって制御されることを確立しており、これが $ o(N^{1/3}) $ 条件の改善の鍵となっている。