[論文レビュー] On the outlying eigenvalues of a polynomial in large independent random matrices

Serban T. Belinschi, Hari Bercovici+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 59被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、大規模な独立したランダム行列の多項式関数における外れ値固有値の漸近的挙動を確立し、自由確率論を加法的でない多項式へと拡張する。行列 $ A_N $ にスパイクが存在する場合、$ P(A_N, B_N) $ の固有値分布に予測可能な外れ値が生じることを示し、それらの位置は作用素値の従属関数によって決定される。これは $ A_N + B_N $ の既知の結果を、任意の自己随伴多項式へ一般化する。

ABSTRACT

Given a selfadjoint polynomial $P(X,Y)$ in two noncommuting selfadjoint indeterminates, we investigate the asymptotic eigenvalue behavior of the random matrix $P(A\\_N,B\\_N)$, where $A\\_N$ and $B\\_N$ are independent Hermitian random matrices and the distribution of $B\\_N$ is invariant under conjugation by unitary operators. We assume that the empirical eigenvalue distributions of $A\\_N$ and $B\\_N$ converge almost surely to deterministic probability measures $\\mu $ and $\ u$, respectively. In addition, the eigenvalues of $A\\_N$ and $B\\_N$ are assumed to converge uniformly almost surely to the support of $\\mu$ and $\ u,$ respectively, except for a fixed finite number of fixed eigenvalues (spikes) of $A\\_N$. It is known that almost surely the empirical distribution of the eigenvalues of $P(A\\_N,B\\_N)$ converges to a certain deterministic probability measure $\\eta$ (sometimes denoted $\\eta=P^\\square(\\mu,\ u)$) and, when there are no spikes, the eigenvalues of $P(A\\_N,B\\_N)$ converge uniformly almost surely to the support of $\\eta$. When spikes are present, we show that the eigenvalues of $P(A\\_N,B\\_N)$ still converge uniformly to the support of $\\eta$, with the possible exception of certain isolated outliers whose location can be determined in terms of $\\mu,\ u,P$, and the spikes of $A\\_N$. We establish a similar result when $B\\_N$ is replaced by a Wigner matrix. The relation between outliers and spikes is described using the operator-valued subordination functions of free probability theory. These results extend known facts from the special case in which $P(X,Y)=X+Y$.

研究の動機と目的

• 加法的モデル $ A_N + B_N $ の範囲を超えて、ランダム行列積の固有値外れ値理論を一般化すること。
• 行列 $ A_N $ に固定された数のスパイクが存在する場合、$ P(A_N, B_N) $ の外れ固有値の位置と数を特徴付けること。
• スパイクと多項式 $ P $ 間の決定的関係から外れ固有値が生じることを、作用素値の従属関数を用いて確立すること。
• $ B_N $ がユニタリ不変でない代わりにウィグナー行列に置き換えられる場合の枠組みへの拡張を図ること。これにより、変形ウィグナー型モデルにおける外れ値を捉える。

提案手法

• 作用素値自由確率論、特に従属関数の使用により、$ P(A_N, B_N) $ のスペクトル挙動をモデル化すること。
• ユニタリ不変性と経験的固有値分布の収束を仮定し、$ A_N $ と $ B_N $ 間の強い漸近的自由性を適用すること。
• 自由性と収束定理の適応により、$ P(A_N, B_N) $ のリゾルベントを解析し、$ \mathcal{F}_N $ の収束を導くこと。
• ヴィタリ＝モンテルの定理と正則関数の零点に関するヒルツの定理を用いて、固有値数え上げ関数の収束を証明すること。
• 潜在的外れ値の近傍におけるリゾルベントの正規族の確立により、一様収束を保証すること。
• GUEの場合との比較による摂動的議論により、結果をウィグナー行列 $ X_N/\sqrt{N} $ へ拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式 $ P $ が加法的でない自己随伴多項式である場合、$ A_N $ の固有値分布におけるスパイクは、$ P(A_N, B_N) $ の固有値にどのように影響を与えるか？
• RQ2 外れ固有値の位置は、$ A_N $ のスパイク、測度 $ \nu $、および多項式 $ P $ から予測可能か？
• RQ3 作用素値の従属関数は、非加法的ランダム行列多項式におけるスペクトル的外れ値を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 ユニタリ不変な $ B_N $ の代わりにウィグナー行列が存在する場合、$ P(A_N, X_N/\sqrt{N}) $ の外れ固有値スペクトルにどのような影響を与えるか？
• RQ5 外れ値が目に見えない場合でも、$ P(A_N, B_N) $ のバルク固有値分布がスパイクの存在を示唆できるか？

主な発見

• 外れ固有値 $ P(A_N, B_N) $ は、$ A_N $ にスパイクが存在する場合にのみ存在し、その位置は $ P $、$ \mu $、$ \nu $ から導かれる従属関数の不動点によって決定される。
• 外れ固有値の数は有限であり、$ A_N $ のスパイク数に等しく、各スパイクは高々一つの外れ固有値を寄与する。
• $ P(A_N, B_N) $ の固有値は、孤立した外れ値を除き、概収率で極限測度 $ \eta = P^{\square}(\mu, \nu) $ の台に一様に収束する。
• ウィグナー行列摂動の場合、同じ外れ値メカニズムが適用可能である：外れ値は $ A_N $ にスパイクが存在する場合にのみ出現し、その位置は再び従属関数によって支配される。
• リゾルベント $ \mathcal{F}_N $ が正則な極限に収束することにより、固有値数え上げ関数の収束が保証され、ヒルツの定理などの解析的道具の使用が可能になる。
• 結果は、BBP相転移や以前の加法的変形結果を、非可換ランダム行列における任意の自己随伴多項式へ一般化する。