[論文レビュー] On the period of the Ikeda lift for U(m,m)

Hidenori Katsurada|EPrints - Department of Mathematics, Hokkaido University|Feb 22, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、unitary 群 U(m,m) におけるヘルミート型イケダ上昇の周期に関する伊達の予想を証明する。内積 ⟨Iₘ(f), Iₘ(f)⟩ が、モジュラー形式 f 及びそのディリクレ指標 χ による捩れのアドジョイント L 関数の特別値によって表現されることを示している。結果はランクイン＝セルバーグ L 級数および局所的シーゲル級数の計算を通じて得られ、ヘルミート型モジュラー形式における自動形式的周期と特別 L 値の間の明確な関係を確立する。

ABSTRACT

Let K be an imaginary quadratic field, and x the Dirichlet character corresponding to the extension K/Q. Let m=2n or 2n+1 with n a positive integer. Let f be a primitive form of weight 2k+1 and and nebentype x, or a primitive form of weight 2k for SL(2,Z) according as m=2n, or m=2n+1. For such an f let I_m(f) be the lift of f to the space of modular forms of weight 2k+2n for the Hermitian modular group of degree m constructed by Ikeda. We then express the period of I_m(f) in terms of special values of the adjoint L-functions of f. This poves the conjecture concerning the period of the Ikeda lift proposed by Ikeda.

研究の動機と目的

• unitary 群 U(m,m) におけるヘリミート型イケダ上昇の周期に関する伊達の予想を解決すること。
• 内積 ⟨Iₘ(f), Iₘ(f)⟩ が f のアドジョイント L 関数およびその χ による捩れの特別値によって表現されることを示すこと。
• ヘリミート型モジュラー形式における自動形式的周期と特別 L 値の間の明確な算術的関係を確立すること。
• ランクイン＝セルバーグ級数および局所的シーゲル級数の手法を、特に虚二次体における分岐素数を含むヘリミート的状況へと拡張すること。

提案手法

• 重さ 2k+2n および特徴 det⁻ᵏ⁻ⁿ におけるモジュラー形式 f のヘリミート型イケダ上昇 Iₘ(f) を U(m,m) に構成すること。
• 上昇に関連するランクイン＝セルバーグ型ディリクレ級数 R(s, Iₘ(f)) を定義し、s = 2k+2n におけるその留数が周期 ⟨Iₘ(f), Iₘ(f)⟩ に関係することを示すこと。
• R(s, Iₘ(f)) の計算を、局所的シーゲル級数を用いた形式的べき級数 Ĥₘ,ₚ(d; X, Y, t) の局所的計算に還元すること。
• すべての素数 p（特に虚二次体 K = ℚ(√−D) の分岐の場合を含む）に対して、Ĥₘ,ₚ(d; X, Y, t) を明示的に計算すること。
• 明示的な局所的公式を用いて、L(s, f, Ad, χⁱ⁻¹) および L(s, χⁱ) を含む Euler 積としての R(s, Iₘ(f)) のグローバルな表現を導出すること。
• 命題 3.1 を用いて、R(s, Iₘ(f)) の s = 2k+2n における留数と周期 ⟨Iₘ(f), Iₘ(f)⟩ を比較し、主要な公式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘリミート型イケダ上昇 Iₘ(f) の周期 ⟨Iₘ(f), Iₘ(f)⟩ の明確な表現は、f 及びその捩れの L 関数によってどのように与えられるか？
• RQ2 ヘリミート型イケダ上昇の周期に関する伊達の予想は、すべての m = 2n または m = 2n+1 に対して成り立つか？
• RQ3 アドジョイント L 関数 L(s, f, Ad) 及びその χ による捩れの特別値は、上昇の内積とどのように関係するか？
• RQ4 上昇がトーティエ上昇でない場合に、ランクイン＝セルバーグ法をヘリミート型モジュラー形式の周期を計算するために適応可能か？

主な発見

• 周期 ⟨Iₘ(f), Iₘ(f)⟩ は、L(1, f, Ad) × ∏ᵢ₌₂ᵐ L(i, f, Ad, χⁱ⁻¹) × ∏ᵢ₌₂ᵐ L(i, χⁱ) の積として、基本的因子を除き表現される。
• ランクイン＝セルバーグ級数 R(s, Iₘ(f)) の s = 2k+2n における留数が内積 ⟨Iₘ(f), Iₘ(f)⟩ と一致することが示され、周期公式が確認された。
• 局所的級数 Ĥₘ,ₚ(d; X, Y, t) がすべての素数 p に対して明示的に計算され、グローバル計算が可能になった。
• m = 2n の場合、L(s, f, Ad, χⁱ⁻¹) および L(s, χⁱ)（i = 1 から m まで）が公式に現れるが、m = 2n+1 の場合は中心特徴が自明であり、公式はそれに応じて調整される。
• 結果として、ヘリミート型イケダ上昇は一般にトーティエ上昇ではない（m = 2 の場合を除く）ことが確認され、トーティエ上昇を超える新しい手法の必要性が正当化された。
• 従来の Duke-Imamoglu-Ikeda 上昇に関する結果がヘリミート的状況へと一般化され、局所的因子の洗練された取り扱いを伴って予想が証明された。