[論文レビュー] On the Poincaré's generating function and the symplectic mid-point rule

Hugo Jiménez-Pérez, Vilotte, Jean-Pierre+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リウヴィル形式を用いて、ポアンカレの生成関数とシンプレクティック中点則の間の長年の関連性を再評価する。ポアンカレの1形式が中点則に対応するのではなく恒等写像に対応することを示し、周期軌道の変分原理（ポアンカレの枠組み）と境界値問題の変分原理（中点則）の間の根本的な不一致を明らかにする。

ABSTRACT

The use of Liouvillian forms to obtain symplectic maps for constructing numerical integrators is a natural alternative to the method of generating functions, and provides a deeper understanding of the geometry of this procedure. Using Liouvillian forms we study the generating function introduced by Poincaré (1899) and its associated symplectic map. We show that in this framework, Poincaré's generating function does not correspond to the symplectic mid-point rule, but to the identity map. We give an interpretation of this result based on the original framework constructed by Poincaré.

研究の動機と目的

• ポアンカレの生成関数とシンプレクティック積分子の幾何的関係を明確化すること。
• ポアンカレの1形式がシンプレクティック中点則を生成するとされる従来の主張に疑問を呈すること。
• シンプレクティック写像を構成するためのリュービリアン形式を用いた厳密な枠組みを確立すること。
• 周期軌道を支配する変分原理（ポアンカレ）と境界値問題を支配する変分原理（中点則）の違いを明確にすること。
• シンプレクティック中点則に対応する正しいリュービリアン形式を特定し、それが対称部分がゼロの基本形式 $\theta_0$ であることを示すこと。

提案手法

• リウヴィルベクトル場 $Z$ を用いて $i_Z\omega = \theta$ を満たすリュービリアン形式 $\theta$ を用いてシンプレクティック写像を構成する。
• リーマン多様体上のリュービリアン形式を分類するためのホッジ分解 $\theta = \delta\eta + dF + \alpha$ を適用する。
• シンプレクティック形式 $\omega_{\mathcal{I}}, \omega_{\mathcal{J}}, \omega_{\mathcal{K}}$ を持つ積多様体 $\mathcal{P} = M \times M$ 上のシンプレクティック構造を分析する。
• シンプレクティックEuler法AとBからポアンカレの1形式へ至る1パラメータ族の1形式を構成し、シンプレクティック性をテストする。
• 中点則を生成する一意のリュービリアン形式 $\theta = \pi_1^*\theta_1 - \pi_2^*\theta_2$ を特定し、それが $\theta_0 = \frac{1}{2}d\mathbf{x}\mathcal{J}\mathbf{x}$ に対応することを示す。
• 中点則がこのような形式から生じるための条件 $\mathbf{S}_1 \equiv 0_{2n}$ を用いて、定曲率流れを伴う退化ケースと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアンカレの生成関数の微分はシンプレクティック中点則に対応するか？
• RQ2 シンプレクティック中点則を生成する正しいリュービリアン形式は何か？
• RQ3 周期軌道の変分原理（ポアンカレ）と境界値問題の変分原理（中点則）の違いは何か？
• RQ4 非退化対称部分を有するリュービリアン形式から中点則を導出できるか？
• RQ5 ホッジ分解はシンプレクティック積分器のためのリュービリアン形式を分類する上で果たす役割は何か？

主な発見

• ポアンカレの生成関数の微分はシンプレクティック中点則ではなく恒等写像に対応する。
• シンプレクティック中点則は、積多様体上での基本リュービリアン形式 $\theta_0 = \frac{1}{2}({\bf p}d{\bf q} - {\bf q}d{\bf p} - {\bf P}d{\bf Q} + {\bf Q}d{\bf P})$ によって生成される。
• 中点則は、リュービリアン形式の対称部分が消える場合（$\mathbf{S}_1 \equiv 0_{2n}$）にのみ生じ、これは退化ケースを示している。
• $\theta_0$ に関連するリウヴィルベクトル場 $Z = \frac{1}{2}\sum_i x_i \partial_{x_i}$ は、定数ハミルトニアン流れに一致するオイラー・ベクトル場である。
• 中点則は、リュービリアンに基づくシンプレクティック写像の特別なケースであり、定ベクトル場の流れに対応する。
• シンプレクティックEuler法AとBからポアンカレの1形式へ至る1形式の族は、境界点でのみシンプレクティック写像を生成するが、経路全体ではそうではない。