[論文レビュー] On the polynomiality of orbifold Gromov--Witten theory of root stacks

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、根スタックの高(genus)のオルビフォールド・グロモフ＝ミンコフスキー不変量が、根次数 $ r $ における多項式であることを確立し、$ g > 0 $ の場合、その次数が $ 2g-1 $ 以下であることを示す。これらの不変量が相対不変量と一致する条件（定数多項式）を特定し、非定数項の係数を退化および仮想局所化技術を用いて特徴づけ、それらが中央ファイバーおよび除数の不変量と量子リーマン＝ローチおよびガーブ双対性を通じて関連することを示す。

ABSTRACT

In \cite{TY18}, higher genus Gromov--Witten invariants of the stack of $r$-th roots of a smooth projective variety $X$ along a smooth divisor $D$ are shown to be polynomials in $r$. In this paper we study the degrees and coefficients of these polynomials.

研究の動機と目的

• 根スタックの高(genus)のオルビフォールド・グロモフ＝ミンコフスキー不変量の $ r $ における多項式の最大次数を特定すること。
• オルビフォールド不変量が相対不変量と一致する条件（つまり、多項式が定数であるとき）を同定すること。
• 多項式の非定数項の係数を、特にそれらの幾何学的およびコホロジー的起源を分析すること。
• 退化および仮想局所化を用いた手法により、これらの係数を計算するための枠組みを確立すること。

提案手法

• 安定写像のモジュライ空間を根スタック $ X_{D,r} $ に分解するための退化公式を適用し、成分 $ X $ と $ Y_{D_0,r} $ に分離する。
• 仮想局所化を用いて、退化における固定点集合からの寄与を計算し、特に $ g_1 > 0 $ の成分に注目する。
• 量子リーマン＝ローチ定理を用いて、根ガーブ $ D_r $ のねじれグロモフ＝ミンコフスキー不変量を $ D $ のねじれなし不変量に関連付ける。
• Andreini–Jiang–Tseng および Tang–Tseng のガーブ双対性の結果を用いて、$ D_r $ の不変量を $ D $ の不変量に関連付ける。
• 多項式における $ r^j $-係数を、$ g_1 > g_0 $ かつ $ g_2 < g - g_0 $ となる項に限定し、$ j > 2g_0 - 1 $ となるように分析する。
• 仮想局所化公式を用いて、種数およびコホロジー重みの組み合わせ的分割を通じて、次数の上限と係数構造を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高(genus)のオルビフォールド・グロモフ＝ミンコフスキー不変量の根スタックにおける $ r $ における多項式の最大次数は何か？
• RQ2 オルビフォールド不変量が相対不変量に等しくなる条件は何か、すなわち多項式が定数であるのはいつか？
• RQ3 多項式の非定数項の係数を決定する幾何学的またはコホロジー的データは何か？
• RQ4 退化の下で、多項式の係数は中央ファイバーおよび除数の不変量とどのように関係するか？

主な発見

• $ g > 0 $ の場合、多項式 $ r^{m_-} \langle \cdots \rangle^{X_{D,r}}_{g,\vec{k},n,d} $ の次数は $ 2g - 1 $ 以下で上界を持つ。
• $ g = 0 $ の場合、不変量は $ r $ に対して定数であるため、多項式の次数はゼロであり、オルビフォールド不変量と相対不変量は一致する。
• $ g > 0 $ の場合、多項式の次数がゼロであることは、中央ファイバー $ D_0 $ に高(genus)の成分を写像する安定写像が存在しないことと同値である。つまり、すべてのこのような成分は種数ゼロでなければならない。
• $ j > 0 $ の $ r^j $-係数は、$ g_1 > g_0 $ かつ $ g_2 < g - g_0 $ となる項からのみ生じる。ここで $ j > 2g_0 - 1 $ である。
• 非定数項の係数は、$ Y_{D_0,r} $ の種数 $ g_1 $ 不変量および $ (X,D) $ の種数 $ g_2 $ 相対不変量に由来する。ここで $ g_1 > g_0 $ かつ $ g_2 < g - g_0 $ である。
• 量子リーマン＝ローチおよびガーブ双対性を用いることで、これらの係数は最終的に $ D $ および $ D_r $ のねじれなし不変量に表現され、それらは $ D $ の不変量に関連する。