[論文レビュー] Gromov-Witten theory of banded gerbes over schemes

Elena Andreini, Yunfeng Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、滑らかで射影な多様体 $X$ 上の $G$-バンドド・ジェルベの、種数 $g$ のオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量について、正確な公式を確立する。この公式は、有限アーベル群 $G$ の指標によって定まる重み付き和として、基底空間 $X$ の不変量に分解されることを示しており、高種数における分解予想を裏付ける。結果は、エタール因子分解と障害理論の比較を用いた、虚の基本クラスのプッシュフォワード公式により得られる。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complex projective algebraic variety. Let $\mathcal{G}$ be a $G$-banded gerbe with $G$ a finite abelian group. We prove an exact formula expressing genus $g$ orbifold Gromov-Witten invariants of $\mathcal{G}$ in terms of those of $X$.

研究の動機と目的

• バンドド・ジェルベの種数 0 の分解結果を、任意の種数 $g$ に拡張すること。
• 基底多様体 $X$ の不変量と関連づける、$G$-バンドド・ジェルベ $\mathcal{G}$ のオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量を正確に関係づける公式を確立すること。
• $\mathcal{G}$ のグロモフ＝ウィッテン理論が、$G$ の既約表現の和として分解されることを証明し、物理的分解予想が高種数でも成り立つことを確認すること。
• ジェルベの自己同型の分類空間とその基底空間の虚の基本クラスを比較する一般的な枠組みを構築すること。

提案手法

• 自然な準同型 $p: \mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta) \to \overline{M}_{g,n}(X, \beta)$ を、$\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta) \to P_{g,n} \to \overline{M}_{g,n}(X, \beta)$ と因子分解し、ここで $P_{g,n}$ はねじれ曲線を含むファイバー積の開部分スタックである。
• 写像 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta) \to P_{g,n}$ がエタールであることを示し、障害理論の比較を可能にする。
• 障害理論の比較を用いて、$\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta)$ の虚の基本クラスと $\overline{M}_{g,n}(X, \beta)$ の虚の基本クラスとの間のプッシュフォワード公式を証明する。
• プッシュフォワード結果を下降的生成関数に適用し、$\mathcal{G}$ の種数 $g$ の生成関数を、$G$ の文字の和として、変形されたノヴィコフ変数を用いた基底の生成関数の和として表現する。
• 文字の直交性と有限群の表現論を用いて、この和を、$|\widehat{G}|$ 個の $X$ の理論のコピーへの分解と解釈する。
• 相対的粗いモジュライ空間の構成を活用し、スタックの準同型と、体拡張および幾何的ファイバーによる次数の計算を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射影な多様体 $X$ 上の $G$-バンドド・ジェルベ $\mathcal{G}$ の種数 $g$ のオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量は、$X$ の不変量とどのように関係するか？
• RQ2 ジェルベ $\mathcal{G}$ のグロモフ＝ウィッテン理論が、$|\widehat{G}|$ 個の $X$ の理論のコピーに分解されるという分解予想は、種数 0 から高種数へ拡張可能か？
• RQ3 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta)$ から $\overline{M}_{g,n}(X, \beta)$ への虚の基本クラスのプッシュフォワードの正確な公式は何か？
• RQ4 ねじれ曲線とねじれ安定写像のスタックは、高種数における障害理論の比較をどのように支援するか？
• RQ5 $G$ の文字は、$X$ の不変量が $\mathcal{G}$ の不変量に寄与する際に、どのように重みを決定するか？

主な発見

• $G$-バンドド・ジェルベ $\mathcal{G}$ の種数 $g$ の下降的生成関数は、$\mathcal{F}^{g}_{\mathcal{G}}(\{t_{i\rho,j}\}) = r^{2g-2} \sum_{[\rho] \in \widehat{G}} \mathcal{F}^{g}_{X}(\{t_{i\rho,j}\}; Q_\rho)$ で与えられ、ここで $Q_\rho^\beta = Q^\beta \chi_\rho(\exp(-2\pi i (\alpha \cap \beta)/r))$ である。
• 虚の基本クラスのプッシュフォワード $p_*[\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta)]^{vir}$ は、$[\overline{M}_{g,n}(X, \beta)]^{vir}$ に比例し、比例定数が $r^{2g-2}$ である。これは群の位数と種数の依存性を反映している。
• $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{G}, \beta) \to P_{g,n}$ の写像はエタールである。これは障害理論の比較が可能であり、プッシュフォワード公式が成り立つために不可欠である。
• $\mathcal{G}$ のグロモフ＝ウィッテン理論が、$|\widehat{G}|$ 個の $X$ の理論のコピーへの分解であることは、すべての $g \geq 0$ に対して確認され、[8] の種数 0 の結果を一般化する。
• 公式は、$\mathcal{G}$ の不変量が、$\alpha \cap \beta$ と文字 $\chi_\rho$ によるペアリングによって定まる「文字によるねじれ」の和として、$X$ の不変量の和に分解されることを示しており、ジェルベのバンドィングを反映している。
• 結果は任意の有限アーベル群 $G$ に対して成り立ち、主に $G = \mu_r$ の巡回群の場合を扱い、一般の $G$ では表記の調整のみを要する。