[論文レビュー] On the possible images of the mod ell representations associated to elliptic curves over Q

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、Q 上の非CM楕円曲線に付随する mod ℓ Galois表現のすべての可能な図像を分類し、表現が全射でない例外的素数 ℓ を特定する。種数 0 のモジュラー曲線とその有理点を用いて、各 ℓ に対して画像群を共役を除いて完全に計算するアルゴリズムを提供する。特に ℓ ≡ 2 mod 3 および ℓ ≥ 17 の場合に重要な結果を得る。

ABSTRACT

Consider a non-CM elliptic curve $E$ defined over $\mathbb{Q}$. For each prime $\ell$, there is a representation $ρ_{E,\ell}: G o GL_2(\mathbb{F}_\ell)$ that describes the Galois action on the $\ell$-torsion points of $E$, where $G$ is the absolute Galois group of $\mathbb{Q}$. A famous theorem of Serre says that $ρ_{E,\ell}$ is surjective for all large enough $\ell$. We will describe all known, and conjecturally all, pairs $(E,\ell)$ such that $ρ_{E,\ell}$ is not surjective. Together with another paper, this produces an algorithm that given an elliptic curve $E/\mathbb{Q}$, outputs the set of such exceptional primes $\ell$ and describes all the groups $ρ_{E,\ell}(G)$ up to conjugacy. Much of the paper is dedicated to computing various modular curves of genus $0$ with their morphisms to the $j$-line.

研究の動機と目的

• Q 上の非CM楕円曲線に対して、mod ℓ Galois表現のすべての可能な画像を分類すること。
• 表現が全射でないすべての例外的素数 ℓ を特定すること。
• 各楕円曲線 E/ℚ に対して、画像群 ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ)) を共役を除いて完全に計算するアルゴリズムを提供すること。
• 有理点を持つ種数 0 のモジュラー曲線 X_G の構造を記述し、可能な画像群の分類を可能にする。
• j-不変量が 0 または 1728 でない場合と、j_E ∈ {0, 1728} の特別な場合を、ねじれとTate曲線解析を用いて処理すること。

提案手法

• 画像が二次のねじれに関して不変となるように、G = ±ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ)) を定義する。
• 行列式条件 det(G) = 𝔽_ℓ^× を用いて、j-不変量を j-直線 ℙ¹_ℚ に送るモジュラー曲線 X_G と射 π_G: X_G → ℙ¹_ℚ を関連付ける。
• det(G) = 𝔽_ℓ^× かつ −I ∈ G を満たす GL_2(𝔽_ℓ) の部分群 G をすべて特徴付け、特に X_G が種数 0 で ℚ-有理点を持つものに焦点を当てる。
• レベル ℓ のモジュラー関数 h を用いて、j-不変量を有理関数 J(h) として表現し、分類問題を有理関数の問題に還元する。
• G もしくは −I ∉ H である G の指数 2 の部分群 H として画像群を解析し、Galois の文字を用いて場合を区別する。
• ℓ-進付値 v_ℓ(j_E) < 0 の場合にTate曲線理論を適用し、PGL_2(𝔽_ℓ) 内の位数制約により、特定の画像群を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL_2(𝔽_ℓ) のどの真部分群が、Q 上の非CM楕円曲線 E に対して、mod ℓ Galois表現 ρ_{E,ℓ} の画像として現れることができるか？
• RQ2 どの素数 ℓ に対して ρ_{E,ℓ} が全射でなく、画像群は共役を除いてどのように記述できるか？
• RQ3 与えられた楕円曲線 E/ℚ に対して、例外的素数 ℓ の集合をどのようにアルゴリズム的に特定できるか？
• RQ4 有理点を持つ種数 0 のモジュラー曲線が、可能な画像群の分類に果たす役割は何か？
• RQ5 なぜ ℓ ≡ 2 mod 3 かつ ℓ ≥ 17 のとき、画像群が N_{ns}(ℓ) または C_{ns}(ℓ) の部分群に制限されるのか？

主な発見

• ℓ ≡ 2 mod 3 かつ ℓ ≥ 17 のとき、ℓ−1 が 2(ℓ+1) を割り切らないため、画像群が N_{ns}(ℓ) に含まれることはない。
• v_ℓ(j_E) ≥ 0 のとき、画像群 ±ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ)) は G もしくは N_{ns}(ℓ) に共役であり、画像は自身の負数を含むため、−I が画像に含まれる。
• v_ℓ(j_E) < 0 のとき、Tate曲線モデルにより、PGL_2(𝔽_ℓ) 内の画像に位数 ℓ−1 の巡回群が含まれるが、これは画像が N_{ns}(ℓ) の像に含まれる場合に PGL_2(𝔽_ℓ) に埋め込めない。
• ℓ ≥ 17 に対して可能な唯一の画像群は、G = N_{ns}(ℓ) または C_{ns}(ℓ) を含む G の指数 3 の部分群である。
• 画像群の分類は、ℚ-有理点を持つ種数 0 のモジュラー曲線 X_G の計算に帰着され、これらは ℙ¹_ℚ に同型であり、有理関数 J(t) でパラメトライズされる。
• アルゴリズムは、与えられた E/ℚ に対して例外的素数 ℓ の集合と、画像群 ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ)) を共役を除いて出力する。この計算には j-不変量とねじれ不変性のみを用いる。