[論文レビュー] On The Prime Numbers In Intervals

Kyle D. Balliet|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、整数 $ n \geq k \geq 2 $ に対して、$ 2 \leq k \leq 519 $ の範囲で、区間 $ (kn, (k+1)n) $ に常に少なくとも1つの素数が存在することを、初等的および解析的数論的手法を用いて一般化したベルトランの定理の拡張を示している。さらに、$ n $ が増加するにつれて $ (n, kn) $ 内の素数の数が増加することを示し、$ n \geq k $ のときには少なくとも $ k-1 $ 個の素数が存在することを明示的な下界によって確認している。これらの結果は素数定理と整合的であり、短区間における素数分布の既知の境界を拡張している。

ABSTRACT

Bertrand's postulate establishes that for all positive integers $n>1$ there exists a prime number between $n$ and $2n$. We consider a generalization of this theorem as: for integers $n\geq k\geq 2$ is there a prime number between $kn$ and $(k+1)n$? We use elementary methods of binomial coefficients and the Chebyshev functions to establish the cases for $2\leq k\leq 8$. We then move to an analytic number theory approach to show that there is a prime number in the interval $(kn, (k+1)n)$ for at least $n\geq k$ and $2\leq k\leq 519$. We then consider Legendre's conjecture on the existence of a prime number between $n^2$ and $ (n+1)^2$ for all integers $n\geq 1$. To this end, we show that there is always a prime number between $n^2$ and $(n+1)^{2.000001}$ for all $n\geq 1$. Furthermore, we note that there exists a prime number in the interval $[n^2,(n+1)^{2+\varepsilon}]$ for any $\varepsilon>0$ and $n$ sufficiently large. We also consider the question of how many prime numbers there are between $n$ and $kn$ for positive integers $k$ and $n$ for each of our results and in the general case. Furthermore, we show that the number of prime numbers in the interval $(n,kn)$ is increasing and that there are at least $k-1$ prime numbers in $(n,kn)$ for $n\geq k\geq 2$. Finally, we compare our results to the prime number theorem and obtain explicit lower bounds for the number of prime numbers in each of our results.

研究の動機と目的

• 整数 $ n \geq k \geq 2 $ に対して、区間 $ (kn, (k+1)n) $ に少なくとも1つの素数が存在するかを調査すること。
• 区間 $ (n, kn) $ 内の素数の最小個数を特定し、$ n $ が増加するにつれて増加すること、および $ n \geq k \geq 2 $ のときには少なくとも $ k-1 $ 個の素数が存在することを示すこと。
• 解析的および初等的技法（チェビシェフ関数および二項係数の近似を含む）を用いて、このような区間内の素数個数の明示的な下界を導出すること。
• 導出された下界を素数定理と比較し、$ n \to \infty $ のとき、区間 $ (kn, (k+1)n) $ 内の素数個数が無限大に発散することを示すこと。

提案手法

• 二項係数 $ \binom{(k+1)n}{kn} $ を用い、素数を3つの範囲に分けた積に分解する：小さい（$ \leq \sqrt{(k+1)n} $）、中程度の（$ \sqrt{(k+1)n} < p \leq kn $）、大きな（$ kn+1 \leq p \leq (k+1)n $）。
• 対数的素数和を推定するために、チェビシェフ関数 $ \vartheta(x) = \sum_{p \leq x} \log p $ および $ \psi(x) = \sum_{p^k \leq x} \log p $ を適用する。
• スターリングの近似および $ l(n) < n! < u(n) $ を用いた階乗の境界（$ \sqrt{2\pi} $、$ n^{n+1/2} $、補正項を含む漸近的境界を含む）を用いる。
• 素数 $ p $ の $ \binom{(k+1)n}{kn} $ における指数を計算するために、式 $ \beta(p) = \sum_{t=1}^\infty \left( \left\lfloor \frac{(k+1)n}{p^t} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{kn}{p^t} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{p^t} \right\rfloor \right) $ を用いる。
• 区間解析のための二項係数の境界を精緻化するために、関数 $ B_k(n,m) = \left\{ \frac{(k+1)n}{m} \atop \frac{kn}{m} \right\} / \left\{ \frac{(k+1)n}{2m} \atop \frac{kn}{2m} \right\} $ を適用する。
• 区間 $ (kn, (k+1)n) $ 内の素数の積に対する下界を導出し、最大素数サイズ $ (k+1)n $ で割ることで、素数個数に対する下界に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $ k \geq 2 $ および $ n \geq k $ に対して、区間 $ (kn, (k+1)n) $ に少なくとも1つの素数が存在するのはどのような場合か？
• RQ2 区間 $ (n, kn) $ に保証される素数の個数はいくつで、これは $ n $ と共に増加するか？
• RQ3 区間 $ (kn, (k+1)n) $ 内の素数個数に対して明示的な下界を導出可能か？ また、素数定理と比較してどうなるか？
• RQ4 レジェンドルの予想（$ n^2 $ と $ (n+1)^2 $ の間に素数が存在する）は、弱体化された形で成り立つか？ また、十分に大きな $ n $ に対して $ [n^2, (n+1)^{2+\varepsilon}] $ に常に素数が存在する最小の指数 $ \varepsilon $ は何か？

主な発見

• すべての $ 2 \leq k \leq 519 $ および $ n \geq k $ に対して、区間 $ (kn, (k+1)n) $ に少なくとも1つの素数が存在する。これは解析的数論および二項係数の境界を用いて証明された。
• 区間 $ (n, kn) $ 内の素数の個数は、少なくとも $ \frac{n}{\log kn} \left( k - 1 - 3.965\left( \frac{k}{\log^2 kn} + \frac{1}{\log^2 n} \right) \right) $ であり、$ n $ と共に増加し、$ n $ が十分に大きい場合には $ k-1 $ を超える。
• $ k = 8 $ の場合、区間 $ (8n, 9n) $ 内の素数の個数は、$ \log_{9n} \left[ 32549.3 e^{-1.001102(9n/19)} n^{-13} \left( \frac{9^9}{8^8} \right)^{17n/105} (9n)^{-2.51012\sqrt{9n}/\log(9n)} \right] $ で下から抑えられ、$ n \to \infty $ のとき無限大に発散する。
• $ \varepsilon > 0 $ に対して、ある $ N $ が存在し、すべての $ n \geq N $ に対して区間 $ [n^2, (n+1)^{2+\varepsilon}] $ に少なくとも1つの素数が存在する。
• 区間 $ (kn, (k+1)n) $ 内の素数の個数は $ n \to \infty $ のとき無限大に発散する。これは、十分に大きな $ n $ に対して、区間が任意に多くの素数を含むことを確認している。
• 区間 $ (n, kn) $ 内の素数個数に対する導出された下界は、素数定理の漸近的予測と整合的であり、明示的にその予測を定量的に表現している。