[論文レビュー] On the projectivity of the moduli space of stable surfaces in characteristic p>5

Zsolt Patakfalvi|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特徴類 p > 5 における安定表面の粗モジュライ空間の射影性を、多 canonical 線分束の押し出しの行列式が十分に可除なインデックスに対して非常に正であることを示すことによって確立する。この結果は、半正則性定理と Frobenius 安定性を用いて得られる。主な結果は、代数閉体の特徴類 p > 5 におけるモジュライ空間の任意の固有閉部分代数的空間が射影的であることであり、さらに2つの予想的な局所的性質を仮定すれば、全モジュライ空間が Z[1/30] 上で射影的であることが示される。

ABSTRACT

We prove that every proper subspace of the moduli space of stable surfaces with fixed volume over an algebraically closed field of characteristic p>5 is projective. As a consequence we also deduce that the same moduli space is projective over Z[1/30] modulo two conjectural local properties of the moduli functor.

研究の動機と目的

• 正の特性 p > 5 における安定表面の粗モジュライ空間の射影性を確立すること。
• この結果を Z[1/30] 上の混合特性の場合にまで拡張すること（モジュライ関手の2つの予想的性質に依存）。
• 多 canonical 線分束の押し出しの行列式が非常に大きい（最大の変動性下では非常に正）ことを証明し、射影性のための非常正性を保証すること。
• 正の特性における高次元安定多様体のモジュライ空間の射影的粗モジュライ空間の存在の基盤を提供すること。
• 幾何的不変量理論が失敗する正の特性におけるモジュライ空間の構成のギャップを埋めるために、半正則性および Frobenius 技法に基づく代替手法を用いること。

提案手法

• 最大の変動性の下で、十分に可除な r に対して、det f∗OX(rKX/T) が非常に大きいことを示すために、非常正性補題法を用いる。
• 定理 1.4 の証明：係数が 5/6 より大きい安定対数表面 (X, D) → T の族に対して、f∗OX(r(KX/T + D)) は nef ベクトル束であることを証明する。
• F-特異点の理論、特に slc 表面特異点における非 F-純イデアルの非退化性を用いて、切断の Frobenius 安定性を確立する。
• 有限の基本変更の後で正規化と解消を施し、半正則性定理を適用できる状況に還元する。
• 安定表面のモジュライスタックの Artin スタック構造を用いて、行列式ラインバンドルの非常正性を粗モジュライ空間へと降下させる。
• Q 上での CM ラインバンドルの既知の結果とその非常正性、および非常正性の開性と基底変換を組み合わせて、基底スキームの開部分集合へ非常正性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴類 p > 5 における安定表面の粗モジュライ空間が射影的となる条件は何か？
• RQ2 半正則性および Frobenius 技法を用いて、正の特性における多 canonical 線分束の押し出しの行列式の非常正性を確立できるか？
• RQ3 混合特性における Z[1/30] 上でモジュライ空間が射影的となるために、モジュライ関手に必要な十分な条件は何か？
• RQ4 F-特異点および非 F-純イデアルの性質が、正の特性における直接像の半正則性にどのように影響するか？
• RQ5 Knudsen–Kollár のモジュライ空間へのアプローチ（非常正性および有限対角に依存）を、正の特性における安定表面へまでどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 代数閉体の特徴類 p > 5 における固定体積 v を持つ安定表面 M2,v のモジュライ空間の任意の固有閉部分代数的空間は射影的である。
• f: X → T が最大の変動性を持つ安定表面の族であるとき、十分に可除なすべての r > 0 に対して、行列式ラインバンドル det f∗OX(rKX/T) は非常に大きい。
• f: X → T のすべてのファイバーが互いに同型でない場合、十分に可除なすべての r に対して、det f∗OX(rKX/T) は非常に正である。
• 境界除集合 D の係数が 5/6 を超え、基底 T が固有的かつ正規的である限り、十分に可除なすべての r に対して、ベクトル束 f∗OX(r(KX/T + D)) は nef である。
• CM ラインバンドル λ3 は基底スキーム S の一般点で非常に正であり、この非常正性は S の開くわせた部分集合へ拡張される。
• 一般ファイバーおよび閉ファイバーでの非常正性を組み合わせ、非常正性の開性を用いることで、行列式ラインバンドルが基底スキーム S 全体で非常に正であることが示され、予想的仮定 (I) および (L) の下で、Z[1/30] 上での粗モジュライ空間の射影性が保証される。