[論文レビュー] On the properties of information gathering in quantum and classical measurements

Kurt Jacobs|ArXiv.org|Apr 30, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子測定と古典的測定における情報利得を調査し、通信に有用な初期状態に関する情報と、状態準備に有用な最終測定後状態に関する情報を区別する。対称測定に関しては、情報利得が初期不確実性に応じて増加することを証明し、ユニタリ的共変および可換置換対称測定の古典的容量を導出し、前者にはフォン・ノイマンエントロピー、後者にはサブエントロピーが支配することを示している。

ABSTRACT

The information provided by a classical measurement is unambiguously determined by the mutual information between the output results and the measured quantity. However, quantum mechanically there are at least two notions of information gathering which can be considered, one characterizing the information provided about the initial preparation, useful in communication, and the other characterizing the information about the final state, useful in state-preparation and control. Here we are interested in understanding the properties of these measures, and the information gathering capacities of quantum and classical measurements. We provide a partial answer to the question `in what sense does information gain increase with initial uncertainty?' by showing that, for classical and quantum measurements which are symmetric with respect to reversible transformations of the state space, the information gain regarding the initial state always increases with the observer's initial uncertainty. In addition, we calculate the capacity of all unitarily covariant and commutative permutation-symmetric measurements for obtaining classical information. While it is the von Neumann entropy of the effects which appears in the latter capacity, it is the subentropy which appears in the expression for the former.

研究の動機と目的

• 量子測定における二つの情報利得の概念の違いを明確化すること：一つは初期状態準備に関するもので、もう一つは最終測定後状態に関するものである。
• 対称な量子的および古典的測定において、情報利得が観測者の初期不確実性にどのように依存するかを調査すること。
• ユニタリ的共変および可換置換対称測定の古典的情報容量を導出すること。
• 異なる測定クラスの容量を特徴付けるエントロピー尺度（フォン・ノイマンエントロピーかサブエントロピーか）を特定すること。

提案手法

• 古典的測定を可換で正定値かつ対角行列であるPOVMの部分集合として表現する統一的枠組みを用いる。
• ユニタリフィードバックを適用して、任意の量子測定が正作用素測定によってシミュレート可能であることを示し、解析を簡略化する。
• 可逆変換に対して不変であるという観点から対称測定を定義する：置換対称（基底の置換に対して不変）およびユニタリ的共変（ユニタリ共役に対して不変）。
• 一様集合における相互情報量を用いて古典的容量を導出し、入力エントロピーと条件付きエントロピーの差として表現する。
• ハール測度を用いたユニタリ変換の積分により条件付きエントロピーを評価し、確率単体上の積分に帰着させる。
• ジョズァ、ロブ、ウッターズの既知の結果を用いて積分を解き、サブエントロピーと調和級数を含む式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子測定における情報利得は、特に対称測定の状況下で、観測者の初期不確実性にどのように依存するか？
• RQ2 量子測定において、初期状態に関する情報利得と最終状態に関する情報利得の違いは何か？
• RQ3 ユニタリ的共変測定の古典的情報容量は何か？ そして、その容量を支配するエントロピー尺度は何か？
• RQ4 可換置換対称測定の容量は、ユニタリ的共変測定のそれと比べてどう異なるか？
• RQ5 初期状態に関する情報の容量式にはなぜサブエントロピーが現れるのに対し、最終状態に関する情報ではフォン・ノイマンエントロピーが現れるのか？

主な発見

• 置換対称およびユニタリ的共変を含む対称測定において、初期状態に関する情報利得は観測者の初期不確実性に応じて増加する。
• ユニタリ的共変測定の古典的容量は $ C = \ln N - N H[Q(U|\psi)] $ で与えられ、ここで $ H[Q(U|\psi)] $ は結果の条件付き確率分布のエントロピーである。
• 条件付きエントロピーの積分は $ N H[Q(U|\psi)] = Q(E) + \sum_{k=2}^{N} \frac{1}{k} $ に評価され、ここで $ Q(E) $ は効果演算子 $ E $ のサブエントロピーである。
• 容量は $ E = I/N $ のとき最大となり、これはゼロ容量に一致し、最大不確実性と整合的である。
• 完全測定（ランク1射影演算子）の場合、容量は $ \frac{1}{N} \left( \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{N} \right) $ ナツに簡略化され、ベータ関数の積分から導出される。
• サブエントロピー $ Q(E) $ は常にフォン・ノイマンエントロピー $ S(E) $ 以下であり、$ E $ の固有値が縮退しても有限のまま保たれる。