[論文レビュー] On the pseudospectrum of the harmonic oscillator with imaginary cubic potential

Radek Novák|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間 $ L^2(\mathbb{R}) $ 上の非自己共役シュレーディンガー作用素 $ H = -\frac{d^2}{dx^2} + x^2 + i x^3 $ の擬スペクトル特性を、半古典的解析とスケーリング技法を組み合わせることで調査する。その結果、この作用素の擬スペクトルがスペクトルから任意に遠く離れた固有値を含むことが示された。主な結果として、$ H $ は有界変換によって自己共役作用素に類似しないこと、および固有関数は完全ではあるが、Schauder基底をなさないことが判明した。

ABSTRACT

We study the Schrödinger operator with a potential given by the sum of the potentials for harmonic oscillator and imaginary cubic oscillator and we focus on its pseudospectral properties. A summary of known results about the operator and its spectrum is provided and the importance of examining its pseudospectrum as well is emphasized. This is achieved by employing scaling techniques and treating the operator using semiclassical methods. The existence of pseudoeigenvalues very far from the spectrum is proven, and as a consequence, the spectrum of the operator is unstable with respect to small perturbations and the operator cannot be similar to a self-adjoint operator via a bounded and boundedly invertible transformation. It is shown that its eigenfunctions form a complete set in the Hilbert space of square-integrable functions; however, they do not form a Schauder basis.

研究の動機と目的

• 非自己共役シュレーディンガー作用素 $ H = -\frac{d^2}{dx^2} + x^2 + i x^3 $ が作用する $ L^2(\mathbb{R}) $ における擬スペクトル構造の分析。
• 非自明な擬スペクトルが、作用素のスペクトル基底性および物理的解釈可能性に与える影響の調査。
• 作用素 $ H $ が有界かつ有界逆を持つ変換によって自己共役作用素に類似しているかどうかの特定。
• $ H $ の固有関数が $ L^2(\mathbb{R}) $ において完全かつ基底性を満たすかの検討。
• スケーリングおよび半古典的技法を用いて、一般形 $ -\frac{d^2}{dx^2} + x^2 + i x^{2n+1} $（$ n \geq 1 $）への結果の拡張。

提案手法

• 大スケールのスペクトルパラメータに対して作用素 $ H $ のリゾルベントノルムの増大を調べるための半古典的解析の適用。
• 問題を半古典的パラメータ領域に還元するためのスケーリング技法の使用。
• 擬スペクトルの $ \varepsilon $-定義（$ \sigma_\varepsilon(H) = \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid \|(H - \lambda)^{-1}\| > \varepsilon^{-1} \} $）の採用による不安定性の検出。
• 虚数の立方項を有する振動子の場合との比較による指数的リゾルベント増大の推定。
• 既知の作用素論的定理（例：[8, Thm. 3] および [9, Thm. 8.2.1]）の適用により、リゾルベント増大と基底性・半群性質の関連を確立。
• 擬自己共役性と有界メトリック作用素の同値性を用いて、自己共役作用素への類似性の否定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ H = -\frac{d^2}{dx^2} + x^2 + i x^3 $ の擬スペクトルが、スペクトルから任意に遠く離れた点を含むか。
• RQ2 固有関数が完全ではあるが、$ L^2(\mathbb{R}) $ において Schauder 基底をなさないか。
• RQ3 $ H $ が有界かつ有界逆を持つ変換によって自己共役作用素に類似しているか。
• RQ4 非自明な擬スペクトルが、$ -iH $ が有界半群を生成できないことを示唆するか。
• RQ5 $ i x^3 $ の場合の結果を、同じ手法を用いて $ i x^{2n+1} $ の場合へ一般化可能か。

主な発見

• $ H $ の固有関数は $ L^2(\mathbb{R}) $ において完全な集合をなすが、スペクトル射影ノルムの指数的増大により、Schauder 基底をなさない。
• 任意の $ \delta > 0 $ に対して、十分に小さい $ \varepsilon $ に対して、$ \sigma_\varepsilon(H) $ はすべての $ \lambda \in \mathbb{C} $ を含み、その条件は $ |\lambda| \geq B (\log \frac{1}{\varepsilon})^{6/5} $ および $ |\arg \lambda| < \arctan(\text{Re}\, \lambda) - \delta $ を満たす。
• スペクトルから遠く離れた擬固有値の存在により、$ H $ は有界かつ有界逆を持つ変換によって自己共役作用素に類似しない。
• 必要なメトリックが無限大である必要があるため、$ H $ は有界かつ有界逆を持つメトリックを備えた擬自己共役作用素ではない。
• スペクトルパラメータが大きい場合のリゾルベントノルムの急激な増大により、$ -iH $ は有界半群の生成作用素ではない。
• すべての結果は、同じスケーリングおよび半古典的技法を用いて、一般形 $ -\frac{d^2}{dx^2} + x^2 + i x^{2n+1} $（$ n \geq 1 $）へ拡張可能。