[論文レビュー] On the q-Extensions of the Bernoulli and Euler Numbers, Related Identities and Lerch Zeta Function

Taekyun Kim, Young‐Hee Kim+1 more|ArXiv.org|Jan 2, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、p-進q積分を用いてλ-Bernoulli数およびλ-Euler数のq拡張を導入し、新しい恒等式を導出し、Lerchゼータ関数と関連づける。主な貢献は、λ-q-Bernoulli数およびλ-q-Euler数の母関数を用いてLerchゼータ関数のq類似を構成することであり、その結果、k ∈ ℕ に対して ζ_q(λ,1−k) = −β_k,q(λ)/k が成り立つ。

ABSTRACT

Recently, $λ$-Bernoulli and $λ$-Euler numbers are studied in [5, 10]. The purpose of this paper is to present a systematic study of some families of the $q$-extensions of the $λ$-Bernoulli and the $λ$-Euler numbers by using the bosonic $p$-adic $q$-integral and the fermionic $p$-adic $q$-integral. The investigation of these $λ$-$q$-Bernoulli and $λ$-$q$-Euler numbers leads to interesting identities related to these objects. The results of the present paper cover earlier results concerning $q$-Bernoulli and $q$-Euler numbers. By using derivative operator to the generating functions of $λ$-$q$-Bernoulli and $λ$-$q$-Euler numbers, we give the $q$-extensions of Lerch zeta function.

研究の動機と目的

• p-進q積分を用いて、λ-Bernoulli数およびλ-Euler数のq拡張を体系的に発展させること。
• λ変形を組み込んだq-Bernoulli数およびq-Euler数に関する先行研究を一般化すること。
• 積分表現を用いて、λ-q-Bernoulli数およびλ-q-Euler数を含む新しい恒等式を確立すること。
• λ-q特別数の母関数を用いて、Lerchゼータ関数のq拡張を定義し、分析すること。
• qおよびλ変形の設定において、ゼータ関数および特別数列に関する先行結果を統合・拡張すること。

提案手法

• ボソン的p-進q積分 I_q(f) = ∫_{ℤ_p} f(x) dμ_q(x) およびフェルミオン的p-進q積分 I_{-q}(f) = ∫_{ℤ_p} f(x) dμ_{-q}(x) を用いて、λ-q-Bernoulli数およびλ-q-Euler数を定義する。
• λ-q-Bernoulli数およびλ-q-Euler数の母関数に微分作用素を適用し、Lerchゼータ関数のq拡張を導出する。
• DC型λ-q-Euler多項式の母関数として、g*(t,λ:q) = ∫_{ℤ_p} λ^x e^{[x]_q t} dμ_{-q}(x) = [2]_q ∑_{m=0}^∞ (−1)^m λ^m q^m e^{[m]_q t} を用いる。
• p-進q積分に関して、q^n I_{-q}(f_n) = (−1)^n I_{-q}(f) + [2]_q ∑_{l=0}^{n-1} (−1)^{n−1−l} q^l f(l) などの再帰的関係を導出する。
• q-級数 [m]_q^s を含むものに基づいて、Lerchゼータ関数の2つのq拡張 ζ_q(λ,s) および ζ_q^*(λ,s) を構成する。
• 恒等式 β_k,q(λ)/k = −∑_{m=1}^∞ q^m λ^m [m]_q^{k−1} を用いて、q-Bernoulli数と負の整数におけるゼータ関数を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてp-進q積分を用いてλ-Bernoulli数およびλ-Euler数をq類似に一般化できるか？
• RQ2 λ-q-Bernoulli数およびλ-q-Euler数のq拡張からどのような恒等式が生じるか？
• RQ3 λ-q-Bernoulli数およびλ-q-Euler数の母関数は、Lerchゼータ関数のq拡張をどのように導くか？
• RQ4 q拡張Lerchゼータ関数とλ-q-Bernoulli数との間にはどのような関数的関係があるか？
• RQ5 Lerchゼータ関数のq拡張は、q級数および特別数列の観点から表現可能か？

主な発見

• q拡張Lerchゼータ関数 ζ_q(λ,s) は、|q|<1 および λ = e^{2πi/f} のもとで、(1−q)(2−s)/(s−1) ∑_{m=1}^∞ q^m λ^m / [m]_q^{s−1} + ∑_{m=1}^∞ q^m λ^m / [m]_q^s として定義される。
• すべての k ∈ ℕ に対して、関数方程式 ζ_q(λ,1−k) = −β_k,q(λ)/k が成り立ち、q拡張ゼータ関数とλ-q-Bernoulli数が関連づけられる。
• 第二のq拡張 ζ_q^*(λ,s) は、∑_{m=1}^∞ q^m λ^m / [m]_q^s として定義され、ζ_q^*(λ,1−k) = −β_k,q(λ)/k を満たす。
• DC型λ-q-Euler数は、E_n,q^*(λ) = ∫_{ℤ_p} λ^x [x]_q^n dμ_{-q}(x) = [2]_q ∑_{m=0}^∞ (−1)^m λ^m q^m [m]_q^n として定義される。
• DC型λ-q-Euler多項式の母関数は、∑_{n=0}^∞ E_n,q^*(λ,x) t^n / n! = [2]_q ∑_{m=0}^∞ (−1)^m λ^m q^m e^{[m+x]_q t} である。
• 結果は、q-Bernoulli数およびq-Euler数に関する先行研究を一般化し、λ変形およびp-進積分法を統合的に統合する。